自組織、非線(xiàn)性與復雜性研究
生命系統與熵定律
熱力學(xué)有兩個(gè)定律，第一定律也稱(chēng)為能量守恒定律，指出宇宙的能量總和是一個(gè)常數，既不可能增加，也不可能減少為什么惠普云打印很慢。熱力學(xué)第二定律就是著(zhù)名的熵定律，它指在一個(gè)封閉的系統里，能量總是從高的地方流向低的地方，系統從有序漸漸變成無(wú)序，系統的熵最終將達到最大值。這是一個(gè)不可逆的過(guò)程。
生命系統就是根本不服從熵定律的一個(gè)龐大的世界為什么惠普云打印很慢。大約40億年前，地球剛剛形成不久，炙熱的巖漿分解出還原成分的氣體，形成大氣層。而正是當時(shí)剛起源的原始生命通過(guò)生物地球化學(xué)作用使得大氣漸漸變成氧化型大氣。氧氣成分增加了，生命更加蓬勃地發(fā)展起來(lái)，一直進(jìn)化到今天。從某種意義上說(shuō)，是生命造就了今天的行星地球，而作為地球生命的最高級形式――人類(lèi)，將運用那前所未有的主動(dòng)精神繼續改造和影響外部世界。
那么生命系統真的不服從熵定律嗎？讓我們先看看一個(gè)人的生命周期過(guò)程：受精卵在母體內開(kāi)始進(jìn)行細胞分裂和復制，逐漸形成胚胎的各種器官，成熟后便誕生出世為什么惠普云打印很慢。隨著(zhù)嬰兒的成長(cháng)，各種器官與器官功能日趨完善，越來(lái)越有序化。誰(shuí)也不會(huì )否認，當孩子漸漸長(cháng)大，他體內儲存的能量也就與日俱增了。不僅一個(gè)人是如此，每當我們觀(guān)察任何一種生命個(gè)體時(shí)，都會(huì )發(fā)現這個(gè)“能量從低向高流動(dòng)”的熵定律的逆過(guò)程。
不但每個(gè)生命個(gè)體是如此，整體生物進(jìn)化過(guò)程本身就代表著(zhù)日益增長(cháng)的秩序的不斷積累為什么惠普云打印很慢。就連某種生物群體內部也一樣，例如主人群組成的人類(lèi)社會(huì )。人類(lèi)社會(huì )本身也是一個(gè)封閉系統，無(wú)疑是附合熵定律條件的。
線(xiàn)性科學(xué)向非線(xiàn)性科學(xué)的轉變
線(xiàn)性是指量與量之間的正比關(guān)系；在直角坐標系里，這是用一根直線(xiàn)表征的關(guān)系為什么惠普云打印很慢。近代自然科學(xué)正是從研究線(xiàn)性系統這種簡(jiǎn)單對象開(kāi)始的。由于人的認識的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單事物開(kāi)始的，所以在科學(xué)發(fā)展的早期，首先從線(xiàn)性關(guān)系來(lái)認識自然事物，較多地研究了事物間的線(xiàn)性相互作用，這是很自然的。因而在經(jīng)典物理學(xué)中，首先考察的是沒(méi)有摩擦的理想擺，沒(méi)有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數學(xué)家們首先研究的是線(xiàn)性函數、線(xiàn)性方程等。理論家們在對大自然中的許多現象進(jìn)行探索時(shí)，總是力求在忽略非線(xiàn)性因素的前提下建立起線(xiàn)性模型，至少是力求對非線(xiàn)性模型做線(xiàn)性化處理，用線(xiàn)性模型近似或局部地代替非線(xiàn)性原型，或者借助于對線(xiàn)性過(guò)程的微小擾動(dòng)來(lái)討論非線(xiàn)性效應。經(jīng)過(guò)長(cháng)期的發(fā)展，在經(jīng)典科學(xué)中就鑄造出一套處理線(xiàn)性問(wèn)題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數、回歸技術(shù)等；就是設計物理實(shí)驗，也主要是做那些可以做線(xiàn)性分析的實(shí)驗。從這個(gè)特點(diǎn)看來(lái)，經(jīng)典科學(xué)實(shí)質(zhì)上是線(xiàn)性科學(xué)。線(xiàn)性科學(xué)在理論研究和實(shí)際應用上都有十分光輝的進(jìn)展，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，對線(xiàn)性系統的研究都取得了很大的成績(jì)。
線(xiàn)性科學(xué)的長(cháng)期發(fā)展，也形成了一種扭曲的認識或“科學(xué)思想”，認為線(xiàn)性系統才是客觀(guān)世界中的常規現象和本質(zhì)特征，才有普遍規律，才能建立一般原理和普適方法；而非線(xiàn)性系統只是例外的病態(tài)現象和非本質(zhì)特征，沒(méi)有普遍的規律，只能作為對線(xiàn)性系統的擾動(dòng)或采取特殊的方法做個(gè)別處理為什么惠普云打印很慢。由此得出結論說(shuō)，線(xiàn)性系統才是科學(xué)探索的基本對象，線(xiàn)性問(wèn)題才存在理論體系；所以經(jīng)典科學(xué)的長(cháng)期發(fā)展，都是封閉在線(xiàn)性現象的圈子里進(jìn)行的。線(xiàn)性與非線(xiàn)性物理現象有著(zhù)質(zhì)的差異和不同的特征。從結構上看，線(xiàn)性系統的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個(gè)因素對系統聯(lián)合作用的總效應，等于各個(gè)因素單獨作用效應的加和；因而描述線(xiàn)性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來(lái)仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數學(xué)操作，都是處理線(xiàn)性問(wèn)題的有效方法；非線(xiàn)性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運動(dòng)形式上看，線(xiàn)性現象一般表現為時(shí)空中的平滑運動(dòng)，可以用性能良好的函數表示，是連續的，可微的。而非線(xiàn)性現象則表現為從規則運動(dòng)向不規則運動(dòng)的轉化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。從系統對擾動(dòng)和參量變化的響應來(lái)看，線(xiàn)性系統的響應是平緩光滑的，成比例變化；而非線(xiàn)性系統在一些關(guān)節點(diǎn)上，參量的微小變化往往導致運動(dòng)形式質(zhì)的變化，出現與外界激勵有本質(zhì)區別的行為，發(fā)生空間規整性有序結構的形成和維持。正是非線(xiàn)性作用，才形成了物質(zhì)世界的無(wú)限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復雜性、多變性和演化性。
在科學(xué)還處在主要以簡(jiǎn)單關(guān)系為研究對象的階段，線(xiàn)性方法曾經(jīng)是十分有效的為什么惠普云打印很慢。線(xiàn)性關(guān)系容易思考，容易解決，可以把它一塊塊地分割開(kāi)進(jìn)行考察，然后再一塊塊地拼合起來(lái)。所以線(xiàn)性關(guān)系讓人喜愛(ài)。而非線(xiàn)性問(wèn)題、非線(xiàn)性方程往往是桀驁不馴、個(gè)性很強的，很難找到普遍的解決方法，只能對具體問(wèn)題做具體分析，針對個(gè)別問(wèn)題的特點(diǎn)采取特殊的處理方法。所以歷史上雖然有過(guò)一些解非線(xiàn)性方程的巧妙方法，但與大量存在的非線(xiàn)性問(wèn)題相比，只算是鳳毛麟角；甚至人們一遇到非線(xiàn)性系統或發(fā)現方程中的非線(xiàn)性項時(shí)，就想盡辦法回避，或加以舍棄，使之“線(xiàn)性化”。
流體動(dòng)力學(xué)中描述粘性不可壓縮流體動(dòng)量守恒的運動(dòng)方程、即著(zhù)名的“納維-斯托克斯方程”，把流體的速度、壓力、密度和粘滯性全部聯(lián)系起來(lái)，概括了流體運動(dòng)的全部規律；只是由于它比歐拉方程多了一個(gè)二階導數項，因而是非線(xiàn)性的，除了在一些特殊條件下的情況外，很難求出方程的精確解為什么惠普云打印很慢。分析這個(gè)方程的性態(tài)，“仿佛是在迷宮里行走，而迷宮墻的隔板隨你每走一步而更換位置”。計算機之父馮#8226;諾意曼（Neumann，Joha von 1903～1957）說(shuō)：“這些方程的特性……在所有有關(guān)的方面同時(shí)變化，既改變它的次，又改變它的階。因此數學(xué)上的艱辛可想而知了。”
所以，非線(xiàn)性系統長(cháng)期以來(lái)被冷落在科研領(lǐng)域的視野以外為什么惠普云打印很慢。當遇到非線(xiàn)性系統時(shí)，科學(xué)家們就代之以線(xiàn)性近似。甚至在教科書(shū)中，也充滿(mǎn)了線(xiàn)性分析成功的內容，“非線(xiàn)性”一詞大都只在書(shū)末一帶而過(guò)地提一下。除了幾個(gè)可解的非線(xiàn)性范例之外，那里講的不過(guò)是如何把一些非線(xiàn)性方程約化成線(xiàn)性方程。這種訓練的結果，把人們的思想禁錮在線(xiàn)性的陷阱里，致使到了20世紀40年代和50年代，許多科學(xué)家和工程師除此之外竟一無(wú)所知。一位著(zhù)名的工程師甚至說(shuō)過(guò)：“上帝不會(huì )不仁得使自然界的方程成為非線(xiàn)性的”。伊恩#8226;斯圖爾特感嘆地說(shuō)：“如果你斷定，只有線(xiàn)性方程才值得研究，那無(wú)異于自我禁錮。你的課本充滿(mǎn)了線(xiàn)性分析的成功，它的失敗埋藏得如此之深，以致連墳墓都看不見(jiàn)，墳墓的存在也沒(méi)人注意。如同18世紀篤信鐘表世界一樣，20世紀中葉則恪守線(xiàn)性世界。”①伊恩#8226;斯恩爾特非常詼諧地揶揄說(shuō)：“稱(chēng)一般微分方程為‘非線(xiàn)性’方程，好比把動(dòng)物學(xué)叫做‘非象類(lèi)動(dòng)物學(xué)’。但是你明白，我們生活在這樣一個(gè)世界里，多少世紀以來(lái)它以為現存的唯一動(dòng)物就是大象，它設想壁腳板上的洞是幼象鑿的，它把翱翔的雄鷹當作耳朵變翼的呆寶②，把猛虎當做身披花紋的短鼻子大象。它的分類(lèi)學(xué)家們則施行矯正手術(shù)，使得博物館的動(dòng)物標本清一色地由笨重的灰色象類(lèi)動(dòng)物組成。‘非線(xiàn)性’就是如此。”到20世紀60年代以后，情況才有了改變。由于電子計算機的廣泛應用和由此發(fā)展起來(lái)的“計算物理”和“實(shí)驗數學(xué)”的方法的利用，人們從研究可積系統的無(wú)窮多自由度的非線(xiàn)性偏微分方程中，在淺水波方程中發(fā)現了“孤子”，并得出了一套一些類(lèi)型非線(xiàn)性方程的解法；從一些看起來(lái)不甚復雜的不可積系統的研究中，發(fā)現了確定性動(dòng)力系統中存在著(zhù)對初值極為敏感的混沌運動(dòng)。人們越來(lái)越明白地認識到，“大自然無(wú)情地是非線(xiàn)性的。”在現實(shí)世界中，能解的、有序的線(xiàn)性系統才是少見(jiàn)的例外，非線(xiàn)性才是大自然的普遍特性；線(xiàn)性系統其實(shí)只是對少數簡(jiǎn)單非線(xiàn)性系統的一種理論近似，非線(xiàn)性才是世界的魂魄。恩里科#8226;費米（Fermi，Enrico 1901～1954）說(shuō)：“圣經(jīng)中并沒(méi)有說(shuō)過(guò)一切大自然的定律都可以用線(xiàn)性方式來(lái)表示”。而且正是非線(xiàn)性才造成了現實(shí)世界的無(wú)限多樣性、曲折性、突變性和演化性。這樣，就逐漸形成了貫穿物理學(xué)、數學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、生命科學(xué)、空間科學(xué)、氣象科學(xué)、環(huán)境科學(xué)等廣泛領(lǐng)域，揭示非線(xiàn)性系統的共性，探討復雜性現象的新的科學(xué)領(lǐng)域“非線(xiàn)性科學(xué)”。生態(tài)學(xué)和混沌學(xué)家羅伯特#8226;梅（Robert，May）認為，目前全世界標準的科學(xué)教育，向人們灌輸的是關(guān)于世界圖景的偏見(jiàn)和歪曲的印象。不管線(xiàn)性的數學(xué)獲得了多大的成功，都只能給學(xué)生一個(gè)關(guān)于實(shí)際大自然的普遍存在的非線(xiàn)性事實(shí)的失真形象。“如果像這樣發(fā)展起來(lái)的數學(xué)直覺(jué)，會(huì )使學(xué)生即使看到離散非線(xiàn)性系統里最簡(jiǎn)單的古怪行為也會(huì )手足失措”。所以他向一切有文化的人呼吁，不僅在研究工作中，而且在日常生活中，包括政治、經(jīng)濟生活中，“如果更多的人了解到這最簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性系統也未必有簡(jiǎn)單的動(dòng)力性質(zhì)，會(huì )大有裨益。”如果能早日向中學(xué)生們講一些非線(xiàn)性知識，那將使一切變得更好。
復雜世界中的規整性的發(fā)現
1．孤波和孤子的發(fā)現
水面受到激擾后會(huì )出現四散的水波，但波紋很快就會(huì )消失，不可能傳到很遠的地方為什么惠普云打印很慢。但在1834年8月，英國科學(xué)家、造船工程師約翰#8226;羅素（Russell，John Scott 1808～1882）卻觀(guān)察到一個(gè)奇怪的現象。他在勘察愛(ài)丁堡到格拉斯哥的運河河道時(shí)，看到一只運行的木船搖蕩的船頭擠出高約0.3米到0.5米、長(cháng)約10米的一堆水來(lái)；當船突然停下時(shí)，這堆水竟保持著(zhù)它的形狀，以每小時(shí)大約13千米的速度往前傳播。10年后，在英國科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì )第14屆會(huì )議上，他發(fā)表了一篇題為《論水波》①的論文，生動(dòng)地描述了這個(gè)現象：
1834年秋，我看到兩匹駿馬正沿運河拉著(zhù)一只船迅速前進(jìn)為什么惠普云打印很慢。突然，船停了下來(lái)，然而被船所推動(dòng)的一大團水卻不停止。它們堆積在船頭周?chē)ち业財_動(dòng)著(zhù)，隨后形成一個(gè)滾圓、光滑又輪廓分明的大水包，其高度約有1～1.5英尺，長(cháng)約30英尺，以每小時(shí)大約8～9英里的速度，沿著(zhù)水面向前滾動(dòng)。我騎在馬上一直跟隨著(zhù)它，發(fā)現它的大小、形狀和速度變化很緩慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。
羅素認識到，這決不是普通的水波為什么惠普云打印很慢。因為普通的水波是由水面的振動(dòng)形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在擴展一小段距離后即行消失；而他所看到的這個(gè)水團，卻具有光滑規整的形狀，完全在水面上移動(dòng)，衰減得也很緩慢。他把這團奇特的運動(dòng)著(zhù)的水堆稱(chēng)為“孤立波”或“孤波”。羅素還仿照運河的狀況建造了一個(gè)狹長(cháng)的大水槽，模擬當時(shí)的條件給水以適當的推動(dòng)，果然從實(shí)驗上再現了在運河上觀(guān)察到的孤波。他認為這應當是流體力學(xué)方程的一個(gè)解。他批評數學(xué)家們未能從流體力學(xué)基本規律預言孤波的存在。他的這些觀(guān)點(diǎn)在科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì )會(huì )議上報告后，未能說(shuō)服他的同事們，爭論一直持續了幾十年。1895年，兩位年輕的荷蘭數學(xué)家科特維格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究淺水中小振幅長(cháng)波運動(dòng)時(shí)，考慮到可把水簡(jiǎn)化為彈性體，具有彈性特征之外，還注意到水具有非線(xiàn)性特征與色散作用，這些次要特性在一定條件下會(huì )形成相干結構。他們由此導出了單向運動(dòng)淺水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形狀與孤波的表面形狀十分相似，從而給出了一個(gè)類(lèi)似于羅素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公認。此后這件事又被漸漸淡忘了。
20世紀60年代，電子計算機被廣泛應用之后，孤波才被重新記起并被命名為“孤立子”或“孤子”為什么惠普云打印很慢。電子計算機的應用，使得科學(xué)家們敢于去探索過(guò)去用解析方法難以處理的復雜問(wèn)題。首先進(jìn)行這方面探索的是物理學(xué)家費米和他的兩個(gè)同事。他們于1952年開(kāi)始利用當時(shí)美國用于設計氫彈的Maniac計算機，對由64個(gè)諧振子組成、振子間存在微弱非線(xiàn)性相互作用的系統進(jìn)行計算，試圖證明統計物理學(xué)中的“能量均分定理”。但1955年完成的研究結果表明，開(kāi)始時(shí)集中在某一振子上的能量，隨著(zhù)時(shí)間的進(jìn)展并不均勻地分配到其它振子上，而是每經(jīng)過(guò)一段“復歸時(shí)間”后，能量又回到原來(lái)的振子上，這就是奇異的“復歸”現象。這個(gè)現象引起了一批科學(xué)家的興趣。
當時(shí)由于空間物理學(xué)和受控熱核技術(shù)研究的發(fā)展，促使了人們對等離子體物理特性的研究為什么惠普云打印很慢。這涉及到等離子體中波的問(wèn)題，推進(jìn)了求解非線(xiàn)性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人經(jīng)過(guò)一系列近似處理，發(fā)現費米等人的諧振子系統可以看做是Kdv方程的極限情況，可以用這個(gè)方程的孤波解來(lái)解釋初始能量的“復歸”現象。1965年，美國科學(xué)家扎布斯基（Zabusky，N(xiāo).）和克魯斯卡爾（Kruskal，M.D.）等在電子計算機做數值試驗后意外地發(fā)現，以不同速度運動(dòng)的兩個(gè)孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、動(dòng)量的集中形態(tài)，其波形和速度具有極大的穩定性，就像彈性粒子的碰撞過(guò)程一樣，所以完全可以把孤波當作剛性粒子看待。于是他們將這種具有粒子性的孤波，即非線(xiàn)性方程的孤波解稱(chēng)為“孤子”①。1965年以后，人們進(jìn)一步發(fā)現，除水波外，其它一些物質(zhì)中也會(huì )出現孤波。在固體物理、等離子體物理、光學(xué)實(shí)驗中，都發(fā)現了孤子。并且發(fā)現，除Kdv方程外，其它一些非線(xiàn)性方程，如正弦-戈登方程、非線(xiàn)性薛定諤方程等，也有孤子解。1967年，美國的一個(gè)研究小組GGKM在解Kdv方程時(shí)，首次發(fā)明了著(zhù)名的解析方法——“逆散射變換”，并得出了Kdv方程N個(gè)孤波相互作用的精確解①。這個(gè)方法經(jīng)拉克斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推廣到一大批非線(xiàn)性演化方程中去，完善為一個(gè)較普遍的解析方法，大大推進(jìn)了孤子的研究。上述這些研究成果，已經(jīng)開(kāi)始推向實(shí)際應用。例如在光纖通訊中，由于色散變形，傳輸信息的低強度光脈沖，不僅傳輸的信息量小，質(zhì)量差，而且每經(jīng)一段傳輸距離后，都要做波形整復。70年代從理論上發(fā)現的“光學(xué)孤子”，由于在傳輸中具有波形不損失，不改變速度等特性，為消除前述缺點(diǎn)找到了有效的方法。物理學(xué)中的一些基本方程，如規范場(chǎng)論中的自對偶楊-米爾斯方程，引力場(chǎng)理論中的軸對稱(chēng)穩態(tài)愛(ài)因斯坦方程，以及一系列在流體力學(xué)、非線(xiàn)性光學(xué)、等離子物體中有重要應用的方程，都已應用孤子理論中的方法得到了許多有趣的精確解。另外，由于孤子同時(shí)具有波和粒子兩重性質(zhì)，引起了理論物理學(xué)家們的極大關(guān)注。他們嘗試用它來(lái)描述基本粒子。但在應用中，上述的孤子定義有所擴展。但到目前為止，還有很多理論上的困難未能解決。
2．復雜系統相干結構的研究
自然界存在著(zhù)大量復雜系統為什么惠普云打印很慢。如由大量原子結合成的固體，奔騰的河流，湍動(dòng)的大氣，大小不一的渦旋等。這些系統除了具有變化不定的運動(dòng)形態(tài)外，還具有空間上局域、時(shí)間上長(cháng)壽的規整結構。這就是由于系統中存在的色散與非線(xiàn)性?xún)煞N作用相互平衡而形成的“相干結構”。孤子就是一種特殊的一維相干結構。相干結構存在于用連續介質(zhì)或流體力學(xué)方程描述的具有無(wú)窮多自由度的復雜系統中。相干結構的穩定性與非線(xiàn)性系統具有無(wú)窮多守恒律密切相關(guān)。很多具有孤子解的非線(xiàn)性演化方程，就有無(wú)窮多個(gè)守恒律，因而也有無(wú)窮多個(gè)守恒的物理量。對相干結構的形成機制和相互作用的探索，是非線(xiàn)性科學(xué)研究的前沿。
除孤子之外，各種尺度的渦旋是自然界一大類(lèi)相干結構為什么惠普云打印很慢。大者如直徑達四萬(wàn)千米的木星大紅斑，小者如晶體中只有幾納米大小的電荷密度波，都是渦旋現象。通過(guò)計算機模擬和實(shí)驗室實(shí)驗，對木星大紅斑的形成機理的研究，已取得了重大進(jìn)展。天文學(xué)上觀(guān)察到木星的大紅斑，是在伽利略用他的望遠鏡觀(guān)察木星之后不久的事情。羅伯特#8226;胡克（Hooke，Robert1635～1703）也觀(guān)察過(guò)它。這個(gè)大紅斑還被畫(huà)在梵蒂岡的畫(huà)廊里。它是一個(gè)巨大的、渦旋狀的卵圓形，就像一個(gè)不運動(dòng)、不消退的巨形風(fēng)暴一直處在木星上。長(cháng)期以來(lái)，它引起了人們的各種猜測。19世紀末期，天文學(xué)家們認為木星紅斑是由火山熔巖形成的一個(gè)卵圓形的熔巖湖；也許是一顆小星體撞擊木星簿殼造成的一個(gè)大洞。一位德國科學(xué)家認為紅斑是木星表面正在分化出的一個(gè)衛星的雛型。后來(lái)人們發(fā)現，紅斑在木星表面上有些浮動(dòng)，所以在1959年有人提出，紅斑是一個(gè)漂浮在木星外大氣中的一個(gè)實(shí)體，就如一枚蛋浮在水中一樣。有人認為這可能是一個(gè)很大的氫或氦的氣泡。但是，由于紅斑的漂移距離很小，所以60年代科學(xué)家們又提出它是巨大火山口上形成的氣柱的頂端。1978年，宇宙飛船旅行者二號在太空中拍到的照片顯示，木星并不是一個(gè)固態(tài)的星球，而是一個(gè)運動(dòng)的流體，表面是沸騰的湍流，有東西向的水平帶。木星大紅斑是一個(gè)巨大旋流中的颶風(fēng)系統，旋動(dòng)在流體木星的上空。它把木星上空的云層推向外邊，嵌入在東西風(fēng)帶之內，形成了這行星上一條水平的帶狀構造。照片顯示，紅斑中存在著(zhù)大量小尺度的、非組織性的迅速流動(dòng)，在一天或不到一天的時(shí)間內，渦流出現又消失，但大紅斑依然存在，而且長(cháng)期不變。這真是一個(gè)宇宙奇跡。80年代初期，美國年青的天文學(xué)家、數學(xué)家菲利浦#8226;馬爾卡斯（Marcus，Philip），根據致密的氫或氦的運動(dòng)規律，建立了一組模擬木星氣候的流體力學(xué)方程組，并編制了計算機程序，試圖揭示大紅斑的秘密。木星的自轉很快，大約每10小時(shí)自轉一周。這種自旋使其上的一切物體都受到科里奧利力的作用，這個(gè)力正比于運動(dòng)物體的速率，垂直于物體運動(dòng)的方向，正是這個(gè)力驅動(dòng)了紅斑。馬爾卡斯用藍色表示順時(shí)針?lè )较蛄黧w的轉動(dòng)，用紅色表示逆時(shí)針?lè )较蛄黧w的轉動(dòng)，中間夾雜有黃色，用計算機繪制美麗的色彩圖象。意想不到的事情發(fā)生了，不論從哪一種構型開(kāi)始，由不同顏色間雜組成的棋盤(pán)式的花樣，在旋轉之后藍色塊都要分解成碎片，紅色塊則越聚越攏，最后匯成一個(gè)其中包含著(zhù)大量小尺度混沌流的卵圓形大紅斑，在四周混亂的湍流海洋背景中穩定而相容地存在著(zhù)。這就是大尺度的紅斑！馬爾卡斯得出結論說(shuō)：大紅斑是一個(gè)非線(xiàn)性作用的產(chǎn)物；一個(gè)復雜系統既可以造成湍流，同時(shí)也可以相互協(xié)調形成一種空間上局域、時(shí)間上長(cháng)壽、相對穩定的相干結構。
確定性系統中的混沌現象的研究
龐加萊關(guān)于三體問(wèn)題的開(kāi)創(chuàng )性研究
科學(xué)認識的步伐，走出一條“之”字形路線(xiàn)：“混沌”讓位于“規則”——這是牛頓所建立的偉大功績(jì)；而“規則”又產(chǎn)生出新形式的“混沌”為什么惠普云打印很慢。邁出這一步伐的第一人，是偉大的法國科學(xué)家龐加萊（1854～1912）。
龐加萊被譽(yù)為是“一只腳站在19世紀，一只腳站在20世紀”的跨世紀天才學(xué)者，“是最后一位傳統科學(xué)家，也是第一位現代科學(xué)家”為什么惠普云打印很慢。這位蓄胡須、戴眼鏡、和藹可親、不修邊幅、帶著(zhù)心不在焉的糊涂外表的沉思者，卻是一位科學(xué)上的集大成者，在數學(xué)、天體力學(xué)、物理學(xué)和科學(xué)哲學(xué)等領(lǐng)域，都做出了杰出的貢獻。他通曉他的時(shí)代的全部數學(xué)，在每一個(gè)重要分支里都做出了富有創(chuàng )造性的工作。這使他成為世界數學(xué)界無(wú)可爭辯的領(lǐng)袖。正是這位科學(xué)巨擘，在確定論思想濃重籠罩著(zhù)全部科學(xué)界的時(shí)候，卻把智慧的眼光投向早被驅趕出科學(xué)園地的混沌深淵。他是在研究天體力學(xué)，特別是“三體問(wèn)題”時(shí)發(fā)現混沌的。1887年，瑞典國王奧斯卡二世（1829～1907）懸賞2500克朗，征求天文學(xué)中一個(gè)重要問(wèn)題的答案。這個(gè)問(wèn)題就是“太陽(yáng)系是穩定的嗎？”其實(shí)這是牛頓本人早就提出來(lái)的一個(gè)老問(wèn)題了。牛頓以當時(shí)已觀(guān)測到的木星和土星運動(dòng)的不規則性以及彗星以極扁的軌道橫穿所有行星的公轉軌道所可能帶來(lái)的干擾作用為依據，提出了太陽(yáng)系的運動(dòng)可能會(huì )陷入紊亂的擔心。此后不少科學(xué)家都對這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)探索。直到1784年，拉普拉斯根據萬(wàn)有引力理論證明，太陽(yáng)系是一個(gè)完善的自行調節的機械機構，行星之間的相互影響和彗星等外來(lái)天體所造成的攝動(dòng)，最終都會(huì )自行得到改正。所以，太陽(yáng)系作為一個(gè)整體是穩定的，它將無(wú)限期地繼續做著(zhù)目前的周期運動(dòng)。但是看來(lái)，拉普拉斯的答案并沒(méi)有消除科學(xué)界的這個(gè)疑慮，沒(méi)有阻止100年后瑞典國王的懸賞征文。
龐加萊自然向奧斯卡國王的難題發(fā)起了進(jìn)攻為什么惠普云打印很慢。但是這個(gè)問(wèn)題是太困難了，它涉及到了怎樣研究復雜動(dòng)力系統的穩定性這個(gè)深刻的問(wèn)題。連龐加萊這樣的天才學(xué)者，也未能徹底攻克它。但是，他卻為了做這一工作而創(chuàng )立了一個(gè)新的數學(xué)分支——拓撲學(xué)，并大大推進(jìn)了人們對這個(gè)歷史難題的認識。他因此獲得了這項獎金。
在太陽(yáng)系中，包含著(zhù)十多個(gè)比月球大的巨大天體，這是造成解題困難的根本原因為什么惠普云打印很慢。如果太陽(yáng)系僅僅由太陽(yáng)和地球組成，這就是一個(gè)“二體系統”，問(wèn)題則很簡(jiǎn)單，牛頓早已完全解決了它們的運動(dòng)問(wèn)題。它們的運動(dòng)是簡(jiǎn)單而規則的周期運動(dòng)，太陽(yáng)和地球將圍繞一個(gè)公共質(zhì)心、以一年為周期永遠運轉下去；或者稍做簡(jiǎn)化地說(shuō)，地球將以太陽(yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)，周而復始地沿橢圓軌道繞轉。然而，當增加一個(gè)相當大的天體后，這就成了一個(gè)“三體系統”，它們的運動(dòng)問(wèn)題就大大復雜化了，要徹底解決這個(gè)問(wèn)題，幾乎是不可能的。對短時(shí)間內的運動(dòng)狀態(tài)，可以用數值計算的方法來(lái)確定；但是由于根據牛頓力學(xué)所列出的方程組不能解析地求解，所以系統長(cháng)時(shí)間的運動(dòng)狀態(tài)是無(wú)法確定的。
為了減少解決“三體問(wèn)題”的難度，龐加萊著(zhù)眼于美國數學(xué)家希爾（Hill，George William 1838～1914）提出的一個(gè)極為簡(jiǎn)化的三體系統，即“希爾約化模型”為什么惠普云打印很慢。三體中有一個(gè)物體的質(zhì)量非常小，它對其它兩個(gè)天體不產(chǎn)生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星際塵埃組成的一個(gè)宇宙體系一樣。這兩顆行星就像一個(gè)“二體系統”一樣繞著(zhù)它們的公共質(zhì)心做周期運動(dòng)；但這顆塵埃卻受到兩顆行星萬(wàn)有引力的作用，在兩顆行星共同形成的旋轉著(zhù)的引力場(chǎng)中做復雜的軌道運動(dòng)。這種運動(dòng)不可能是周期的，也不可能是簡(jiǎn)單的，看上去簡(jiǎn)直是亂糟糟一團（圖2）。
為了用幾何方法直觀(guān)地描繪運動(dòng)的情況，可以以描述系統狀態(tài)的狀態(tài)參量為坐標張成的“相空間”來(lái)描繪運動(dòng)過(guò)程為什么惠普云打印很慢。某一時(shí)刻系統的狀態(tài)在相空間里用一個(gè)點(diǎn)表示；系統狀態(tài)隨時(shí)間的變化，即系統運動(dòng)方程的解，對應于相空間的一條曲線(xiàn)，稱(chēng)為“相軌道”；如果物體做周期運動(dòng)，它的相軌道就是一條閉合曲線(xiàn)；如果曲線(xiàn)不閉合，則表示物體的運動(dòng)是非周期的。但是，為了確定系統的運動(dòng)是不是周期性的，與其自始至終地跟蹤系統運動(dòng)的全過(guò)程，不如只觀(guān)察系統的相軌道是否總會(huì )通過(guò)同一相點(diǎn)。設想通過(guò)相空間中一點(diǎn)A（初始狀態(tài)）作一個(gè)橫截面（圖3），如果系統的相軌道總在同一點(diǎn)A穿過(guò)截面，那么系統的運動(dòng)就是周期性圖3用龐加萊截面考察運動(dòng)情況：的；相反，如果系統的相曲線(xiàn)1表示周期運動(dòng)軌道每次都在不同點(diǎn)穿曲線(xiàn)2為非周期運動(dòng)過(guò)這個(gè)截面，它的運動(dòng)就是非周期的。這個(gè)截面現被稱(chēng)為“龐加萊截面”，它把對連續曲線(xiàn)（相軌道）的研究簡(jiǎn)化為對點(diǎn)的集合的研究，相當于對系統的全部運動(dòng)過(guò)程進(jìn)行不連續的抽樣檢驗，從而簡(jiǎn)化了檢測工作。
龐加萊把他的截面方法應用于“希爾約化模型”的研究，以觀(guān)察塵埃粒子的運動(dòng)為什么惠普云打印很慢。龐加萊震驚了，他發(fā)現塵粒的運動(dòng)如此復雜而且違反直覺(jué)。它的軌線(xiàn)多次穿過(guò)截面所形成的交點(diǎn)竟連綴成無(wú)窮多交點(diǎn)的“柵欄”（圖4，現稱(chēng)為“同宿柵欄”）。他寫(xiě)道：
當人們試圖描畫(huà)由這兩條曲線(xiàn)和它們的無(wú)窮次相交（每一次相交都對應于一個(gè)雙漸近解）構成的圖形時(shí)，這些相交形成一種格子、絲網(wǎng)或無(wú)限密集的網(wǎng)柵結構；這兩條曲線(xiàn)從不會(huì )自相交叉，但為了無(wú)窮多次穿過(guò)絲網(wǎng)的網(wǎng)節，它們必須以一種很復雜的方式折疊回自身之上為什么惠普云打印很慢。這一圖形的復雜性令人震驚，我甚至不想把它畫(huà)出來(lái)。沒(méi)有什么能給我們一個(gè)三體問(wèn)題復雜性的更好的概念了①。
從截面上一點(diǎn)出發(fā)的系統，經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)程后，當它再穿過(guò)截面時(shí)，卻在另一點(diǎn)交于龐加萊截面，簡(jiǎn)直無(wú)法預言它下一次將從哪一點(diǎn)穿過(guò)截面；實(shí)際上系統是以無(wú)規的點(diǎn)的序列頻頻穿過(guò)龐加萊截面的為什么惠普云打印很慢。這就是混沌，龐加萊在“三體問(wèn)題”中發(fā)現了混沌！這一發(fā)現表明，即使在“三體系統”，甚至是極為簡(jiǎn)化的“希爾約化模型”中，牛頓力學(xué)的確定性原則也受到了挑戰，動(dòng)力系統可能出現極其驚人的復雜行為。并不像人們原來(lái)認為的那樣，動(dòng)力系統從確定性的條件出發(fā)都可以得出確定的、可預見(jiàn)的結果；確定性動(dòng)力學(xué)方程的某些解，出現了不可預見(jiàn)性，即走向混沌。
其實(shí)，在龐加萊動(dòng)手解決奧斯卡國王的難題的同一年，即1887年，數學(xué)家布倫斯（Bruns，H.）就已證明，三體問(wèn)題的9個(gè)自由度18個(gè)二階微分方程，只有10個(gè)運動(dòng)積分，即3個(gè)動(dòng)量積分，3個(gè)角動(dòng)量積分，3個(gè)關(guān)于質(zhì)心運動(dòng)的積分和1個(gè)能量積分為什么惠普云打印很慢。1890年，龐加萊將布倫斯的結論推廣到有攝動(dòng)參數的情況；1892年在他的三卷本《天體力學(xué)新方法》的第一卷第四章中，他對這個(gè)定理做出了一般表述：在通常的保守問(wèn)題中，經(jīng)典力學(xué)正則方程除了滿(mǎn)足能量積分外，不滿(mǎn)足其它任何解析、一致的積分。龐加萊的一般性結論，實(shí)質(zhì)上是指出，可積系統是極少的；許多行為很規則的系統，當受到擾動(dòng)后，可能出現不連續性，其參數或初始條件的微小變化，就可能引起復雜的、甚或是性質(zhì)上的變化。
龐加萊的工作提出了經(jīng)典力學(xué)的確定性原則的適用限度的重大問(wèn)題，留下了極富啟發(fā)性的論斷和猜想為什么惠普云打印很慢。不過(guò)，混沌問(wèn)題是太復雜了，龐加萊的時(shí)代還不具備揭示和描述混沌現象的足夠的知識儲備和數學(xué)工具。雖然憑著(zhù)他超人的幾何直覺(jué)對混沌的復雜性有所洞察，但是他并不真的是“不想”畫(huà)出他所發(fā)現的“同宿柵欄”，而是“無(wú)法”把它畫(huà)出來(lái)。這是只有用電子計算機技術(shù)才能處理的復雜幾何圖象。龐加萊的思想是太超前于他的時(shí)代了，所以他的發(fā)現在半個(gè)多世紀里并未受到科學(xué)界的重視；牛頓力學(xué)確定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽著(zhù)混沌廣闊富饒的研究領(lǐng)域。
3．伯克霍夫的工作與KAM定理
美國數學(xué)家伯克霍夫（Birkh off，George 1884～1944）是20世紀初少數幾個(gè)認識到龐加萊動(dòng)力系統研究工作的重要性的人物之一，他繼承和發(fā)展了龐加萊的工作為什么惠普云打印很慢。
伯克霍夫把龐加萊截面方法用于探索哈密頓系統的一般行為為什么惠普云打印很慢。他發(fā)現微分方程的性質(zhì)取決于正則級數的收斂性。如果正則級數是收斂的，則微分方程的解位于N維不變環(huán)面上。但實(shí)際上級數的收斂、發(fā)散與否取決于振幅的大小。當考慮非線(xiàn)性作用時(shí)，橢圓不動(dòng)點(diǎn)周?chē)牟蛔儹h(huán)面有些遭到破壞，有些繼續存在但有點(diǎn)變形。
1932年，伯克霍夫證明，對應于不變環(huán)面的消失，存在不穩定區域，它可以被一條扭曲映射下的不變曲線(xiàn)所包攏，而區域內并無(wú)環(huán)繞原點(diǎn)的不變曲線(xiàn)為什么惠普云打印很慢。他實(shí)際上已經(jīng)證明，任意接近外邊界的點(diǎn)，在映射作用下可以任意接近內邊界，反之亦然。在研究不穩定區的結構時(shí)，伯克霍夫讓一個(gè)收縮性的扭曲映射作用于兩條不變曲線(xiàn)之間的不穩定區域，結果不穩定區域被映射到一個(gè)更小的子區域中；映射的迭代最終把原區域變成了一個(gè)面積為零、結構極其復雜的極限集合，位于原區域中的點(diǎn)的軌跡都收斂到這個(gè)集合中去了。
伯克霍夫實(shí)際上已經(jīng)發(fā)現了“混沌行為”和現在所說(shuō)的“奇怪吸引子”的實(shí)例，他當時(shí)稱(chēng)之為“奇特曲線(xiàn)”為什么惠普云打印很慢。更值得提出的是，他已經(jīng)意識到這種行為是動(dòng)力系統的通有行為。除伯克霍夫等極少數人之外，幾乎沒(méi)有人沿著(zhù)龐加萊的道路前進(jìn)。直到20世紀60年代以后，對動(dòng)力系統的研究才有了長(cháng)足的進(jìn)展。
1960年前后，前蘇聯(lián)數學(xué)家柯?tīng)柲宸颍↘olmogorov，A.N.）、阿諾德（Arnold，V.I.）和莫塞爾（Moser，J.）提出并證明了以他們的姓氏的字頭命名的KAM定理為什么惠普云打印很慢。這個(gè)定理的基本思想是1954年柯?tīng)柲宸蛟诎⒛匪固氐づe行的國際數學(xué)會(huì )議上宣讀的《在具有小改變量的哈密頓函數中條件周期運動(dòng)的保持性》短文中提出的。后來(lái)他的學(xué)生阿諾德做出了嚴格的證明，莫塞爾又推廣了這些結果。
按照分析力學(xué)方法為什么惠普云打印很慢，N(xiāo)個(gè)自由度系統的哈密頓函數是H=H（p1，p2……pN；q1，q2……qN），系統的運動(dòng)由哈密頓正則方程
確定為什么惠普云打印很慢。如果能夠找到一系列正則變換，從廣義動(dòng)量p1，p2……pN和廣義坐標q1，q2……qN變到另一套作用-角度變量J1，J2……JN和θ1，θ2……θN，使得利用新變量表示的哈密頓函數只依賴(lài)于前一半變量J1，J2……JN，而與θ1，θ2……θN無(wú)關(guān)，則這個(gè)力學(xué)系統就是完全可解的，即為一可積系統。因為這意味著(zhù)這個(gè)系統的行為可化簡(jiǎn)，歸約為N維環(huán)面上的條件周期運動(dòng)。相反，如果找不到一種變換，使得哈密頓方程只包含作用變量，則系統是不可積的。實(shí)際上，對于多數保守系統，是無(wú)法找到這種正則變換的。
KAM定理是關(guān)于近可積系統的一個(gè)重要的、一般性結論，有十分重要的意義為什么惠普云打印很慢。假定系統的哈密頓函數分為兩部分
其中H0部分是可積的，V是使H變得不可積的擾動(dòng)，只要ε很小，這就是一個(gè)弱不可積系統為什么惠普云打印很慢。KAM定理斷言，在擾動(dòng)較小，V足夠光滑，離開(kāi)共振條件一定距離三個(gè)條件共同成立下，對于系統的大多數初始條件，弱不可積系統的運動(dòng)圖象與可積系統基本相同。可積系統的運動(dòng)限制在由N個(gè)運動(dòng)不變量決定的N維環(huán)面上，而弱不可積系統的絕大多數軌道仍然限制在稍有變形的N維環(huán)面上，這些環(huán)面并不消失，只有輕微的變形，稱(chēng)為不變環(huán)面。不過(guò)，只要有非零的擾動(dòng)，總會(huì )有一些軌道逃離不變環(huán)面，出現不穩定、隨機性的特征；但只要滿(mǎn)足KAM定理的條件，這些迷走軌線(xiàn)是零測度的，不代表系統的典型行為。
大量的計算機數值實(shí)驗表明，破壞KAM定理的任何一個(gè)條件，都會(huì )促使迷走軌線(xiàn)增多，使運動(dòng)的不規則性和隨機性增大，最終導致混沌運動(dòng)為什么惠普云打印很慢。當然，這運動(dòng)所遵循的仍然是決定性的牛頓力學(xué)方程式。所以，KAM定理以一個(gè)限制性原理的形式，從反面泄露了有關(guān)牛頓力學(xué)面目的真實(shí)信息。它暴露出，確定性的動(dòng)力系統，只要精確地從同一點(diǎn)出發(fā)，其運動(dòng)就是一條確定的軌道；但是只要初始條件有無(wú)論多么微小的變化，其后的運動(dòng)就會(huì )變得無(wú)序和混亂，就如同擲骰子一樣，是隨機和不可預測的。這就是牛頓力學(xué)的內稟隨機性。
4．洛侖茲關(guān)于氣象預報的研究
混沌研究上的一個(gè)重大突破，是在天氣預報問(wèn)題的探索中取得的為什么惠普云打印很慢。
1922年，英國物理學(xué)家和心理學(xué)家理查孫（Richardson，LewisFry 1881～1953）發(fā)表了一篇題為《用數值方法進(jìn)行天氣預報》的文章為什么惠普云打印很慢。在文章的末尾，他提出了一個(gè)異想天開(kāi)的幻想：在一個(gè)大建筑內，集聚一大批長(cháng)于計算的工作者，在統一指揮下相互協(xié)調地對影響天氣變化的各種數據進(jìn)行計算。他估計，為了使天氣預報和實(shí)際的天氣變化達到同步，大約需要64000個(gè)熟練的計算者。他設想，在遙遠的將來(lái)，有朝一日或許有可能發(fā)展出比天氣變化還要快的計算手段，從而使天氣預報夢(mèng)想成真。真是先知之見(jiàn)，不到30年，電子計算機就出現了，并且成功地用于天氣預報。在牛頓力學(xué)確定論思想的影響下，當時(shí)科學(xué)家們對天氣預報普遍持有這樣樂(lè )觀(guān)的看法：氣象系統雖然復雜異常，但仍然是遵循牛頓定律的確定性過(guò)程。在有了電子計算機這種強有力的工具之后，只要充分利用遍布全球的氣象站、氣象船、探空氣球和氣象衛星，把觀(guān)測的氣象數據（氣壓、溫度、濕度、風(fēng)力等）都及時(shí)準確地收集起來(lái)，根據大氣的運動(dòng)方程進(jìn)行計算，天氣變化是可以做出精確預報的。既然天文學(xué)家能夠根據牛頓定律，用鉛筆和計算尺計算出了太陽(yáng)系的未來(lái)，預見(jiàn)了哈雷彗星的出沒(méi)以及海王星和冥王星的存在，勾劃出了人造衛星和洲際導彈的準確軌跡，那么為什么對于風(fēng)和云就做不到呢？只要有一臺功能高超的計算機來(lái)充任拉普拉斯設想的“智者”，天氣的變化就會(huì )在人們精確的預言中。計算機之父約翰#8226;馮#8226;諾意曼就認為氣象模擬是計算機的理想的用武之地。他甚至認為，天氣狀況不僅可以預報，而且是可以人工控制和改變的。美國氣象學(xué)家、麻省理工學(xué)院的洛侖茲（Lorenz，Edward）最初也接受了這種觀(guān)點(diǎn)。1960年前后，他開(kāi)始用計算機模擬天氣變化。
洛侖茲有良好的數學(xué)修養，他本想成為一個(gè)數學(xué)家，只是由于第二次世界大戰的爆發(fā)，他成了空軍氣象預報員，使他成了一位氣象學(xué)家為什么惠普云打印很慢。比起龐加萊來(lái)，洛侖茲的條件是太優(yōu)越了。他擁有一臺“皇家馬可比”計算機，它是用真空管組成的，雖然運算速度還不算快，但在當時(shí)已經(jīng)是很了不起的了。洛侖茲把氣候問(wèn)題簡(jiǎn)化又簡(jiǎn)化，提煉出影響氣候變化的少而又少的一些主要因素；然后運用牛頓的運動(dòng)定律，列出了12個(gè)方程。這些方程分別表示著(zhù)溫度與壓力、壓力與風(fēng)速之間的關(guān)系等等。他相信，運動(dòng)定律為數學(xué)確定性架起了橋梁，12個(gè)聯(lián)立方程可以用數值計算方法對氣象的變化做出模擬。開(kāi)始時(shí)，洛侖茲讓機器每分鐘在打印機上打出一串數字，表示出一天的氣象，包括氣壓的升降，風(fēng)向的變化，氣溫的起伏等。洛侖茲把這些數據與他心目中的預測相對比，感覺(jué)到某種熟悉的東西一次一次地重復出現。氣溫上升又下降，風(fēng)向向北又向南，氣壓升高又降低；如果一條曲線(xiàn)由高向低變化而中間沒(méi)有隆起的部分，隨后就會(huì )出現兩個(gè)隆起部分。但是他又發(fā)現，這種重復決不是精確的，一次與一次絕不完全吻合。這個(gè)結果已經(jīng)開(kāi)始向洛侖茲透露著(zhù)某種奧秘了。
1961年冬季的一天，洛侖茲用他的計算機算出了一長(cháng)段數據，并得出了一個(gè)天氣變化的系列為什么惠普云打印很慢。為了對運算結果進(jìn)行核對，又為了節省點(diǎn)時(shí)間，他把前一次計算的一半處得到的數據作為新的初始值輸入計算機。然后他出去喝了杯咖啡。一個(gè)小時(shí)后當他又回到計算機旁的時(shí)候，一個(gè)意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一輪計算數據與上一輪的數據相差如此之大，僅僅表示幾個(gè)月的兩組氣候數據逐漸分道揚鑣，最后竟變得毫無(wú)相近之處，簡(jiǎn)直就是兩種類(lèi)型的氣候了。開(kāi)始時(shí)洛侖茲曾經(jīng)想到可能是他的計算機出了故障，但很快他就悟出了真相：機器沒(méi)有毛病，問(wèn)題出在他輸入的數字中。他的計算機的存儲器里存有6位小數，0.506127。他為了在打印時(shí)省些地方只打出了3位0.506。洛侖茲原本認為舍棄這只有千分之一大小的后幾位數無(wú)關(guān)緊要；但結果卻表明，小小的誤差卻帶來(lái)了巨大的“災難”。
為了仔細看一下初始狀態(tài)原本十分相同的氣候流程，如何越來(lái)相差越大，洛侖茲把兩次輸出的變化曲線(xiàn)打印在兩張透明片上，然后把它們重疊在一起（圖5）為什么惠普云打印很慢。一下子就清楚地看出來(lái)，開(kāi)始時(shí)的兩個(gè)隆峰還很好地相重疊，但到第三個(gè)和第四個(gè)隆峰時(shí)，就完全亂套了。這個(gè)結果從傳統觀(guān)點(diǎn)看來(lái)是不可理解的。
因為按照經(jīng)典決定性原則，初始數據中的小小差異只能導致結果的微小變化；一陣微風(fēng)不會(huì )造成大范圍的氣象變化為什么惠普云打印很慢。但是洛侖茲是從事天氣預報的，他對長(cháng)期天氣預報的失敗是有深切感受的。這個(gè)離奇古怪的計算結果與他的經(jīng)驗和直覺(jué)是完全相符的。所以他深信他的這些方程組和計算結果揭露了氣象變化的真實(shí)性質(zhì)。他終于做出斷言：長(cháng)期天氣預報是根本不可能的！他甚至有些慶幸地說(shuō)：“當然，我們實(shí)在也不曾做準過(guò)氣象的長(cháng)期預報，而現在好了，我們找到了開(kāi)脫！”“對于普通人來(lái)說(shuō)，看到我們可以在幾個(gè)月前就很準地預報了潮汐，便會(huì )問(wèn)：為什么對大氣就不能準確預報呢？確實(shí)，大氣雖然是一個(gè)與潮汐不同的系統，但支配它們的定律的復雜程度卻是差不多的。但我認為，任何表現出非周期性態(tài)的物理系統，都是不可預測的。”①事實(shí)正是這樣，即使在今天，世界上最好的天氣預報也只能一天可靠，超過(guò)兩三天，就只是猜測。
洛侖茲是個(gè)穿著(zhù)氣象學(xué)家外衣的數學(xué)家，他很快看出了氣候變化不能精確重演與長(cháng)期天氣預報的不可能二者之間存在著(zhù)一種必然的聯(lián)系為什么惠普云打印很慢。用數學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是“非周期性”與“不可預見(jiàn)性”之間的聯(lián)系。氣象系統是不斷重復但又從未真正重復的，這叫做“非周期系統”。如果氣候的變化是嚴格的周期性的，即某一時(shí)刻各個(gè)地方的壓力、溫度、濕度、每一片云、每一股風(fēng)都和此前某一時(shí)刻的情況完全一樣，那么這一時(shí)刻以后的天氣變化也將和此前那一時(shí)刻以后的天氣變化完全相同，于是天氣就會(huì )循環(huán)往復地永遠按照這個(gè)變化順序反復重現，精確的天氣預報也就成了平淡無(wú)奇的事情了。
基于這種認識，洛侖茲就把氣候問(wèn)題丟在一邊，專(zhuān)心致力于在更簡(jiǎn)單的系統中去尋找產(chǎn)生復雜行為的模式為什么惠普云打印很慢。他抓住了影響氣候變化的重要過(guò)程，即大氣的對流。受熱的氣體或液體會(huì )上升，這種運動(dòng)就是對流。烈日烘烤著(zhù)大地，使地面附近的空氣受熱而上升；升到高空的空氣放熱變冷后，又會(huì )從側面下降。雷雨云就是通過(guò)空氣的對流形成的。如果對流是平穩的，氣流就以恒定的方式漸漸上升；如果對流是不平穩的，大氣的運動(dòng)就復雜化了，出現某種非周期性態(tài)。這與天氣變化有某種類(lèi)似。于是，洛侖茲就從表征著(zhù)流體運動(dòng)過(guò)程的納維-斯托克斯方程組出發(fā)，經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化處理并做傅立葉展開(kāi)，取頭一、二項，得到傅立葉系數滿(mǎn)足的一組常微分方程。與大氣的實(shí)際對流運動(dòng)相比，這組方程是大為簡(jiǎn)化了，它只是抽象地刻劃了大氣真實(shí)運動(dòng)的基本特點(diǎn)，既考慮了流動(dòng)的速度，又考慮了熱的傳輸，與真實(shí)的大氣運動(dòng)是大體類(lèi)似的。他建立的三個(gè)方程是dx/dt=10(y-x)
dy/dt=28x- y-xz
dz/dt=(8/3)z+xy
x、y、z是三個(gè)主要變量，t是時(shí)間，d/dt是對時(shí)間的變化率；常數28對應于不平穩對流剛開(kāi)始后系統的狀態(tài)為什么惠普云打印很慢。這就是1963年洛侖茲發(fā)表在《氣象科學(xué)雜志》20卷第2期上的題為《確定性非周期流》中所列出的方程組。由于其中出現了xz、xy這些項，因而是非線(xiàn)性的，這意味著(zhù)它們表示的關(guān)系不是簡(jiǎn)單的比例關(guān)系。一般地說(shuō)，非線(xiàn)性方程組是不可解的，洛侖茲的方程組也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用數值方法計算解。用初始時(shí)刻x、y、z的一組數值，計算出下一個(gè)時(shí)刻它們的數值，如此不斷地進(jìn)行下去，直到得出某一組“最后”的數值。這個(gè)方法叫做“迭代”，即反復做同樣方法的計算。用計算機進(jìn)行這種“迭代”運算是很容易的。洛侖茲把x、y、z作為坐標畫(huà)出了一個(gè)坐標空間，描繪了系統行為的相軌道，他吃驚地發(fā)現，畫(huà)出的圖顯示出奇妙而無(wú)窮的復雜性（圖6）。這是三維空間里的雙重繞圖，就像是有兩翼翅膀的一只蝴蝶；它意味著(zhù)一種新的序，軌線(xiàn)被限制在某個(gè)邊界之內，決不會(huì )越出這個(gè)邊界；但軌線(xiàn)決不與自身相交，在兩翼上轉來(lái)轉去地環(huán)繞著(zhù)。這表示系統的性態(tài)永遠不會(huì )重復，是非周期性的，從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它又純粹是無(wú)序的。
正如這篇論文的標題所表示的，從確定性的方程和確定的初始狀態(tài)（x、y、z的初始值）出發(fā)，經(jīng)過(guò)多次迭代后，卻得出了非周期性態(tài)的結果為什么惠普云打印很慢。這就是混沌！一切有關(guān)混沌的豐富內容，都包含在這幅奇妙的畫(huà)圖中了。
現在就可以說(shuō)明什么是現代科學(xué)意義上的“混沌”概念了為什么惠普云打印很慢。1986年在倫敦召開(kāi)的一個(gè)關(guān)于混沌問(wèn)題的國際會(huì )議上，提出了下述的定義：“數學(xué)上指在確定性系統中出現的隨機性態(tài)”。傳統觀(guān)點(diǎn)認為，確定性系統的性態(tài)受精確的規則支配，其行為是確定的，可以預言的；隨機系統的性態(tài)是不規則的，由偶然性支配，“隨機”就是“無(wú)規”。這樣看來(lái)，“混沌”就是“完全由定律支配的無(wú)定律性態(tài)”，這真是一個(gè)大自然的“悖論”。
5．“蝴蝶效應”和“斯梅爾馬蹄”
無(wú)規性的源泉在于初始條件的選擇為什么惠普云打印很慢。一個(gè)動(dòng)力系統的行為或運動(dòng)軌道決定于兩個(gè)因素。一個(gè)是系統的運動(dòng)演化所遵從的規律，如牛頓定律；一個(gè)是系統的初始狀態(tài)，即初始條件。經(jīng)典力學(xué)指出，一個(gè)確定性系統在給定了運動(dòng)方程后，它的軌道就唯一地取決于初始條件，一組初始值只有一條軌道，這就是系統行為對初值的依賴(lài)性。
但是，任何測量都是有誤差的，所以任何時(shí)候都不可能絕對精確地測定初始值為什么惠普云打印很慢。實(shí)驗上給出的初值都只能是近似的。這個(gè)誤差對系統的行為會(huì )不會(huì )有嚴重影響呢？經(jīng)典力學(xué)斷言，系統的行為或運動(dòng)軌道對初值的依賴(lài)是不敏感的，知道了一個(gè)系統近似的初始條件，系統的行為就能夠近似地計算出來(lái)。這就是說(shuō)，從兩組相接近的初值描繪出的兩條軌道，會(huì )始終相互接近地在相空間里偕游并行，永遠不會(huì )分道揚鑣，泛泛的小影響不會(huì )積累起來(lái)形成一種大的效應。
混沌研究卻粉碎了傳統科學(xué)中這種對近似性和運動(dòng)的收斂性的信仰為什么惠普云打印很慢。處在混沌狀態(tài)的系統，或者更一般地說(shuō)對于一個(gè)非線(xiàn)性系統，運動(dòng)軌道將敏感地依賴(lài)于初始條件。洛侖茲已經(jīng)發(fā)現，從兩組極相鄰近的初始值出發(fā)的兩條軌道，開(kāi)始時(shí)似乎沒(méi)有明顯的偏離，但經(jīng)過(guò)足夠長(cháng)的時(shí)間后，就會(huì )呈現出顯著(zhù)的差異來(lái)（圖5）。這就是說(shuō)，初值的微小差異，在運動(dòng)過(guò)程中會(huì )逐漸被放大，終會(huì )導致運動(dòng)軌道的巨大偏差，以至于這種偏差要多大就有多大。在科學(xué)實(shí)驗中，一種變化過(guò)程可能有一個(gè)臨界點(diǎn)，在這一點(diǎn)上，一個(gè)微小的擾動(dòng)可能被放大成一個(gè)重大的變化。而在混沌中，這種點(diǎn)無(wú)處不在，確定性系統初值的微小差異導致了系統整體的混沌后果。
小的誤差竟能帶來(lái)巨大的災難性后果，這一點(diǎn)早在1908年就被目光敏銳的龐加萊洞察到了為什么惠普云打印很慢。他在他的名著(zhù)《科學(xué)與方法》中寫(xiě)道：
我們覺(jué)察不到的極其輕微的原因決定著(zhù)我們不能不看到的顯著(zhù)結果，于是我們說(shuō)這個(gè)結果是由于偶然性為什么惠普云打印很慢。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時(shí)刻的狀態(tài)，那么我們就能夠正確地預言這個(gè)宇宙在后繼時(shí)刻的狀態(tài)。不過(guò)，即使自然定律對我們已無(wú)秘密可言，我們也只能近似地知道初始狀態(tài)。如果情況容許我們以同樣的近似度預見(jiàn)后繼的狀態(tài)，這就是我們所要求的一切，那我們便說(shuō)該現象被預言到了，它受規律支配。但是，情況并非總是如此；可以發(fā)生這樣的情況：初始條件的微小差別在最后的現象中產(chǎn)生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差。預言變得不可能了，我們有的是偶然發(fā)生的現象①。這一段幾乎是百年前的話(huà)，不正是我們近幾十年才揭開(kāi)的混沌來(lái)源之謎嗎？
洛侖茲從他關(guān)于長(cháng)期天氣預報的研究中悟出的正是這個(gè)道理為什么惠普云打印很慢。對于任何小塊地區氣候變化的誤測，都會(huì )導致全球天氣預報的迅速失真。不論氣象觀(guān)測站的網(wǎng)點(diǎn)如何密集，都不可能覆蓋整個(gè)地球和從地面到高空的每一高度。在一尺之遙的空間范圍內的一點(diǎn)氣象漲落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空間，小誤差通過(guò)一系列湍流式的鏈鎖反應，集結起來(lái)而成十倍、百倍、千倍地膨脹擴大，終于使天氣預報變成一派胡言，在跨洋隔洲的地區形成山雨欲來(lái)風(fēng)滿(mǎn)樓的景象。洛侖茲非常形象地比喻說(shuō)：巴西亞馬孫河叢林里一只蝴蝶扇動(dòng)了幾下翅膀，三個(gè)月后在美國的得克薩斯州引起了一場(chǎng)龍卷風(fēng)。人們把洛侖茲的比喻戲稱(chēng)為“蝴蝶效應”。這個(gè)看法當時(shí)并不為氣象學(xué)家們所接受。據說(shuō)洛侖茲把“蝴蝶效應”說(shuō)給他的一個(gè)朋友以說(shuō)明長(cháng)期天氣預報不可能時(shí)，他的朋友回答說(shuō)“預報不會(huì )成為問(wèn)題”，“現在是要搞氣象控制”。洛侖茲卻不這樣看，他認為，人工改變氣候當然是可能的；但是當你這樣做時(shí)，你就無(wú)法預測它會(huì )產(chǎn)生什么后果。簡(jiǎn)單的確定性系統如何會(huì )導致長(cháng)期行為對初值的敏感依賴(lài)性呢？理解這一點(diǎn)的關(guān)鍵是要理解混沌的幾何特性，即由系統內在的非線(xiàn)性相互作用在系統演化過(guò)程中所造成的“伸縮”與“折疊”變換。美國拓撲學(xué)家斯梅爾（Smale，Stephen 1930～）對此做出了重要貢獻。
斯梅爾是一個(gè)杰出的拓撲學(xué)家，本來(lái)在多維拓撲學(xué)的一些最奇特的問(wèn)題上已經(jīng)卓有成就為什么惠普云打印很慢。1958年，他開(kāi)始對動(dòng)力系統的微分方程進(jìn)行深入研究，并發(fā)表了一篇過(guò)于樂(lè )觀(guān)的論文。他在這篇論文里提出了一個(gè)錯誤的猜想。他用極為嚴謹的數學(xué)語(yǔ)言論證說(shuō)，一切動(dòng)力系統最終都將進(jìn)入一個(gè)并不十分奇異的行為；或者說(shuō)，典型的動(dòng)力學(xué)行為是定態(tài)的或周期的。雖然，一個(gè)動(dòng)力系統可能會(huì )出現離奇古怪的性態(tài)，但斯梅爾認為這種性態(tài)不會(huì )是穩定的。后來(lái)斯梅爾曾回憶說(shuō)：“我的過(guò)分樂(lè )觀(guān)引導我在那篇論文里認為，幾乎所有常微分方程系統都是這樣一些（結構穩定的）系統！”①他說(shuō)如果他多少了解些龐加萊、伯克霍夫等人的文獻，他就不會(huì )有那種愚蠢的思想。
1959年圣誕節后，斯梅爾一家正在巴西首都里約熱內盧暫住，他接到了他的朋友萊文松（Levinson，N(xiāo).）的 ，指出他的猜想是錯誤的，并告訴他自己關(guān)于受迫范德坡方程的研究已經(jīng)提供了一個(gè)反例為什么惠普云打印很慢。早在本世紀20年代，德國物理學(xué)家范德坡（Van der Pol，B.）就已開(kāi)始研究非線(xiàn)性電路的弛豫振蕩問(wèn)題，并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年，范德坡又和范德馬克（Van der Mark，J.）發(fā)現了著(zhù)名的“分頻”現象。萊文松用這個(gè)反例說(shuō)明，一個(gè)系統既有混沌又有穩定性，混沌與穩定性共存；系統的這種奇特性質(zhì)并不為小的擾動(dòng)所破壞。
當斯梅爾仔細研究了萊文松的文章，最后確信萊文松是對的時(shí)，他就把自己的猜想換成了另一個(gè)問(wèn)題：典型的動(dòng)力行為是什么？斯梅爾多年來(lái)是在拓撲學(xué)中進(jìn)行探索的，他利用相空間對范德坡振子的全程可能性進(jìn)行探索為什么惠普云打印很慢。他注意的并不只是單條的軌線(xiàn)，而是全空間的性態(tài)；他的直覺(jué)由這系統的物理本質(zhì)躍進(jìn)到一種新型的幾何本質(zhì)。他思考的是形狀在相空間中的拓撲變換，例如拉伸或壓縮變換。這些變換有明確的物理意義。如系統中的耗散，由于摩擦而喪失能量，意味著(zhù)系統在相空間中的形狀將會(huì )收縮，甚至可能最終完全靜止下來(lái)收縮到一點(diǎn)。為了反映范德坡振子的全部復雜運動(dòng)性態(tài)，他想到相空間必須經(jīng)歷一種新的變換組合。這使他從觀(guān)察振子的總體行為提出了一種幾何模型——“斯梅爾馬蹄”。
斯梅爾馬蹄的道理很簡(jiǎn)單為什么惠普云打印很慢。取一個(gè)正方形，把它拉伸為瘦長(cháng)的矩形，再把它對折彎疊成馬蹄形（圖7）。然后想象把這馬蹄嵌入一個(gè)新的矩形中，再重復相同的變換：擠壓、折曲、拉伸……
這實(shí)際上就像廚師揉面團的操作過(guò)程：首先是伸縮變換，使面團在一個(gè)方向搟平壓薄，同時(shí)在另一個(gè)方向上伸長(cháng)；然后是折疊變換，將拉長(cháng)的兩塊面對折疊置為什么惠普云打印很慢。這種操作反復進(jìn)行下去。可以設想，開(kāi)始時(shí)先在面團上擦一層紅顏色，那么在廚師揉面過(guò)程中，紅色層將被拉長(cháng)、變薄、交疊起來(lái)。經(jīng)過(guò)多次反復操作后，原來(lái)相鄰近的兩個(gè)紅色粒子會(huì )越來(lái)越遠地分離開(kāi)去，原來(lái)不相鄰近的兩個(gè)紅色粒子卻可能越來(lái)越靠近了。
動(dòng)力系統正是通過(guò)這兩種變換而形成渾沌軌道幾何圖象的復雜性的為什么惠普云打印很慢。伸縮變換使相鄰狀態(tài)不斷分離而造成軌道發(fā)散。但僅有伸縮變換還不足以擾亂相空間造成復雜性，還必須通過(guò)折疊變換。折疊是一種最強烈的非線(xiàn)性作用。伸縮和折疊的混合并不斷反復，才可能產(chǎn)生動(dòng)力系統相軌道的分離、匯合，產(chǎn)生無(wú)可預見(jiàn)的不規則運動(dòng)。在混沌區內，相空間中的伸縮與折疊變換以不同的方式永不停息又永不重復地進(jìn)行，從而造成了相軌道永不自交又永不相交的穿插盤(pán)繞、分離匯聚，完全“忘掉了”初始狀態(tài)的一切信息，“丟棄了”未來(lái)與過(guò)去之間的一切聯(lián)系，呈現出混沌運動(dòng)。這就是系統長(cháng)期行為對初值的敏感依賴(lài)性的源由。
本來(lái)，斯梅爾企圖只用拉伸與擠壓去解釋一切動(dòng)力系統的行為，而不用會(huì )大大損害系統穩定性的折疊變換為什么惠普云打印很慢。但是折疊是必要的，因為折疊使動(dòng)力系統的行為有動(dòng)力性態(tài)上的根本變化，是導致混沌的一種重要作用。斯梅爾馬蹄給數學(xué)家和物理學(xué)家提供了一個(gè)對動(dòng)力系統運動(dòng)的可能性的直觀(guān)理解的幾何圖象。
6．“周期倍化分叉”的發(fā)現
在動(dòng)力系統演化過(guò)程中的某些關(guān)節點(diǎn)上，系統的定態(tài)行為可能發(fā)生性質(zhì)的改變，原來(lái)的穩定定態(tài)變?yōu)椴环€定定態(tài)，同時(shí)出現新的更多的定態(tài)，這種現象叫作“分叉”（bifurcation）為什么惠普云打印很慢。分叉是由運動(dòng)方程中參數的變化引起的，所以往往要用“參數空間”來(lái)描繪分叉現象。隨著(zhù)參數的變化，分叉可以一次接一次地相繼出現，而這種分叉序列又往往是出現混沌的先兆，最終會(huì )導致混沌。
生物群體數量（“蟲(chóng)口”）變化的研究以及涉及到的一類(lèi)典型一維映射的分叉現象的研究，在20世紀70年代混沌學(xué)的創(chuàng )立和發(fā)展中曾經(jīng)起到過(guò)特殊的作用為什么惠普云打印很慢。
澳大利亞昆蟲(chóng)學(xué)家尼科爾森（Nicholson，A.J.）曾經(jīng)在一個(gè)大瓶子里用有限的蛋白質(zhì)食物喂養了一瓶子綠頭蒼蠅，研究受到空間和食物限制的蒼蠅群體數目（“蠅口”）的變化為什么惠普云打印很慢。他觀(guān)察到有時(shí)綠頭蒼蠅可繁殖到將近一萬(wàn)只；過(guò)些時(shí)候又會(huì )降至幾百只。蠅口繁殖過(guò)快超過(guò)容器的空間限制后數目就急劇減少，而活動(dòng)空間的擴大又使蠅口快速增長(cháng)；蠅口決不會(huì )單調增大或單調減少，呈現一種周期性的漲落。尼科爾森發(fā)現，這個(gè)循環(huán)周期大約是38天。但每個(gè)周期內蠅口數卻可能出現兩個(gè)峰值，而且到約450天后，蠅口的變化（振蕩）變得極不規則。在這個(gè)實(shí)驗中，蠅口數的變化包括了周期性、擬周期性和混沌。
看來(lái)，生物群體應被看做是一個(gè)動(dòng)力系統，是受著(zhù)某種動(dòng)力驅使的為什么惠普云打印很慢。在食物受限制的地域單種生物在起起落落地繁殖著(zhù)；幾種生物共存的區域，各種生物在生存競爭中此長(cháng)彼消；在捕食者與被食者之間，存在著(zhù)雙向抑制作用；在宿主群體內部，流行病在傳播。……這一切因素，都對生物群體起到約束作用，把群體限制在更合理的數目上。
生態(tài)學(xué)家們一直試圖為生物群體增減尋找一個(gè)數學(xué)模型為什么惠普云打印很慢。一個(gè)合理的簡(jiǎn)化就是用離散的時(shí)間間隔去模擬蟲(chóng)口的變化。因為許多生物群體的數目基本上都是按照一年的時(shí)間間隔變化的，而不是連續時(shí)間的變化。更有一些昆蟲(chóng)，它們只在一年中的特定季節里繁殖，所以它們的一代一代之間決不會(huì )重疊。一年一年的變化，正是生態(tài)學(xué)家所要了解的全部信息。因此，描寫(xiě)生物群體的方程不是連續的微分方程，而是比較簡(jiǎn)單的差分方程，這是一種迭代模型，即逐年逐年地反復用同一個(gè)函數進(jìn)行數值運算，它可以反映由一個(gè)狀態(tài)（數目）到另一個(gè)狀態(tài)（數目）的跳躍變化。
這個(gè)差分方程應該反映出以下影響蟲(chóng)口增減的因素：第一，蟲(chóng)口的增長(cháng)必定與前一年的蟲(chóng)口數目成正比，這是一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系，比例系數k即群體的增長(cháng)率；第二，蟲(chóng)口的增長(cháng)又受到空間、食物、流行病等許多因素的限制，不可能無(wú)限增長(cháng)為什么惠普云打印很慢。實(shí)際情況是，群體小時(shí)穩定增長(cháng)，群體適中時(shí)增殖量近于零，群體暴漲時(shí)急劇下降。
一個(gè)較好的方程是由迭代邏輯斯蒂映射所得到的非線(xiàn)性邏輯斯蒂（Logistic）差分方程
xt+1=kxt(1-xt)
x表示蟲(chóng)口的相對數，它被定義為介于0和1之間的數，0代表滅絕，1代表群體的最大蟲(chóng)口數；t表示時(shí)間，它只能以整數0，1，2，3……跳躍；生殖增長(cháng)率k代表了這一模型的一個(gè)十分重要的特征，表示拉伸或壓縮的程度，也即非線(xiàn)性程度為什么惠普云打印很慢。從幾何學(xué)上講，邏輯斯蒂映射表示以不均勻的方式拉伸或壓縮一個(gè)線(xiàn)段，然后再加以折疊。對于一個(gè)生物群體來(lái)說(shuō)，參數k越低，意味著(zhù)群體最終將在較低的數量水平上滅絕；參數k的值提高以后，群體的數量也不會(huì )無(wú)限增長(cháng)，這是可以理解的。但是計算表明，在k值提高后，群體卻不可能收斂于一個(gè)定態(tài)水平，這是令人費解的。
20世紀70年代，美國普林斯頓大學(xué)的生態(tài)學(xué)家羅伯特#8226;梅（Robert May）開(kāi)始利用計算機對這種單一群體生物隨時(shí)間而變化的最簡(jiǎn)單的生態(tài)學(xué)方程進(jìn)行系統的研究為什么惠普云打印很慢。他對這一非線(xiàn)性參數試用不同的值進(jìn)行迭代計算。他發(fā)現，改變的不僅僅是輸出的數量，而且也改變了輸出的性質(zhì)；因為它不僅影響著(zhù)平衡時(shí)群體的數值，而且還影響群體是否能夠實(shí)現平衡。
梅編制了計算機程序，慢慢增加k值，對方程進(jìn)行數值運算為什么惠普云打印很慢。他發(fā)現，當k值小于1時(shí)，在0到1之間任意取初值x0，經(jīng)過(guò)若干次迭代，蟲(chóng)口數趨于終態(tài)x*=0，表示生物群體將滅絕，這是可以預料的。當1＜k＜3時(shí)，任取初值x0，經(jīng)過(guò)一系列迭代（演化過(guò)程）后，蟲(chóng)口數越來(lái)越趨于一個(gè)穩定態(tài)x*=1-1/k；如取k=2，則蟲(chóng)口數將最終穩定在x*=0.5；若取k=2.4，則x*=0.5833；若取k=2.7，則x*=0.6292；隨著(zhù)k值的增大，穩定平衡值也會(huì )增大，但系統的行為沒(méi)有質(zhì)的變化，都會(huì )達到一個(gè)穩定的定態(tài)（即蟲(chóng)口數達到一個(gè)穩定值）。
為了在全局上對邏輯斯蒂差分方程的解（即最終定態(tài)）做出了解，梅以參數k值的變化為橫坐標，以群體最終蟲(chóng)口數為縱坐標，把二者的變化關(guān)系集攏在一張圖上（圖8）為什么惠普云打印很慢。
迭代計算發(fā)現，當k值超過(guò)3之后，系統的定態(tài)失穩了，這條線(xiàn)分裂為兩條，蟲(chóng)口交替振蕩于兩年的兩點(diǎn)之間，x*值在兩個(gè)數之間一年一換地交替躍變，這是周期2循環(huán)為什么惠普云打印很慢。當k值增大到3.5左右時(shí)，周期2吸引子也開(kāi)始失穩，出現周期4循環(huán)，群體的不同起始值x*都收斂于以4年為周期的循環(huán)中，每4年返回近原值一次。當k值增至3.56后，周期又加倍到8；k到3.567時(shí)，周期達到16。此后將更快地出現32、64、128……的周期倍化序列。這就是“周欺倍化級聯(lián)”；倍周期就是分叉或雙分枝現象。周期分裂再分裂，這種雙分枝越來(lái)越快地發(fā)生，以致到k=3.58左右這種分裂突然呈現崩潰之勢，周期性態(tài)就變成混沌，蟲(chóng)口的漲落再也不會(huì )確定下來(lái)，蟲(chóng)口的逐年變化完全成為隨機的，全部區域染成了墨色。
這么簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)系統，在非線(xiàn)性作用下，當k從0趨向4時(shí)，其動(dòng)力學(xué)性態(tài)的復雜性逐步增加，即從定態(tài)變?yōu)橹芷谛詰B(tài)，通過(guò)周期倍化級聯(lián)而到達混沌性態(tài)為什么惠普云打印很慢。
但這還不是最終的圖景為什么惠普云打印很慢。更令人驚奇的是，在這個(gè)復雜的區域中又會(huì )突然出現一個(gè)有正規周期的窗口（圖8中狹窄的白條部分）；不過(guò)周期由偶數變?yōu)槠鏀?。?如當k=3.835時(shí)，出現周期3循環(huán)；輕微地增加k值，周期以新的“倍化級聯(lián)”出現6、12、24、48……周期。當k=3.739時(shí)，將得到周期5循環(huán)，此后又是雙分枝的10、20、40……的周期。愈來(lái)愈快的倍周期雙分枝再度爆發(fā)出現混沌。
這是一個(gè)十分奇妙的圖景：分叉再分叉，加快更加快，周期性態(tài)走向混沌性態(tài)，混沌區內又出現周期窗口；窗口內還有更小的窗口，出現更稠密的周期性態(tài)；放大任何窗口，都會(huì )重現整個(gè)圖景的微縮復本為什么惠普云打印很慢。
圖象特別明顯地顯示出，周期區內分叉序列中兩個(gè)相鄰分叉點(diǎn)之間的距離越來(lái)越快地縮短，而且似乎有某種規則的比例關(guān)系為什么惠普云打印很慢。美國物理學(xué)家費根鮑姆(Feigenbaum，Mitchell)敏銳地覺(jué)察到了這種幾何收斂的周期僵化級聯(lián)現象的規則性，對收斂的速度——標度比的值進(jìn)行了深入的探討。1975～1976年，費根鮑姆在一次會(huì )議上聽(tīng)到斯梅爾關(guān)于邏輯斯蒂映射及其通過(guò)周期倍化級聯(lián)走向混沌的介紹后，投入到對邏輯斯蒂映射的研究。那個(gè)時(shí)代，使用計算機是件麻煩冗長(cháng)的過(guò)程，要用穿孔卡分批輸入數據，幾天后才能出結果。所以費根鮑姆寧肯用惠普HP65型可編程計算器，這是一個(gè)幸運的選擇。因為計算器算得很慢，促使操作者在結果出來(lái)以前常去思考它。為了節省時(shí)間，費根鮑姆就嘗試大致揣測級聯(lián)中的下一個(gè)分叉點(diǎn)可能在哪里。不久他就發(fā)現了規律，相繼的分叉點(diǎn)之差具有恒定的比率，前一個(gè)差值約為后一個(gè)差值的4倍，更精確地說(shuō)，這二者的比率約為4.669。對一個(gè)物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，恒定比率意味著(zhù)標度率，表明物理學(xué)特征必在愈來(lái)愈小的標度上再現，這當然是極為重要的。費根鮑姆用這個(gè)方法對另一個(gè)映射即三角映射x→ksin(x) 進(jìn)行了計算，同樣發(fā)現了周期倍化級聯(lián)和幾何收斂現象，更為驚人的是它的標度比值也是4.669。
費根鮑姆利用計算機進(jìn)行了更精確的計算為什么惠普云打印很慢。對于邏輯斯蒂映射，他很快得出了一個(gè)更精確的標度比值：4.6692016090；對三角映射重復計算，到小數點(diǎn)后10位，兩數完全相同。看來(lái)標度比不依賴(lài)于方程，無(wú)論邏輯斯蒂映射還是三角映射，沒(méi)有什么差別。這當然不可能是巧合。費根鮑姆的發(fā)現表明，在邏輯斯蒂映射一類(lèi)的非線(xiàn)性映射中，倍周期分叉遵循一個(gè)普適性規律：當t→∞時(shí)，分叉間距比存在一個(gè)極限值（更精確的）δ=4.66920160910399097……
同時(shí)為什么惠普云打印很慢，分叉也在越來(lái)越窄的寬度上出現，這又是一種普適性規律：相鄰兩個(gè)分枝間的寬度按一定比率縮小，縮小因子在t→∞時(shí)也存在極限值
α=2.5029078750958928485……
這兩個(gè)常數被稱(chēng)為“費根值”(Feigenvalue)為什么惠普云打印很慢。費根值的普適性也具有相對性，它只適用于具有像拋物線(xiàn)那樣的峰的單峰映射；對于多峰或者具有扁平峰和尖峰那樣的情況，標度比值將會(huì )不同；但每一類(lèi)的映射，其標度比總是相同的。
費根鮑姆的發(fā)現，是一條普遍適用于一切從有序轉變到混沌的動(dòng)力系統在轉變點(diǎn)上的自然規律為什么惠普云打印很慢。這種普適性不僅是結構的，而且是測度的。這一發(fā)現的意義在于，動(dòng)力系統中存在著(zhù)標度變換，它不僅控制著(zhù)分叉花樣，而且延伸到精確數值。事物整體具有與其部分相似的結構，說(shuō)明在完全確定的系統中不需要引入任何干擾，就可能出現不規則的隨機運動(dòng)，這是一種內稟特性。
費根鮑姆關(guān)于普適性的發(fā)現，指引人們走上混沌科學(xué)的大道，推動(dòng)了非線(xiàn)性科學(xué)的發(fā)展為什么惠普云打印很慢。
費根鮑姆寫(xiě)道①：“物理學(xué)中有一條基本假定，那就是分析分析再分析，把事物的組成分離出來(lái)，直到你真正明白基本的東西在單純的狀態(tài)以如何簡(jiǎn)明的規律行事，然后，你就假定那些你還不懂的事物都是細節為什么惠普云打印很慢。……”但是現在不行了，因為“大量系統底層有一反復運行之規律，需要用另一種思維去認識它。……這要拋棄純分析的方法，不能分析分析再分析。”他接著(zhù)寫(xiě)道：“人類(lèi)要另辟新徑，必須捉住標度結構這一環(huán)，看看大家伙與小家伙的關(guān)系如何。……這產(chǎn)生復雜性的、持續進(jìn)行的單一過(guò)程卻與大小尺寸無(wú)關(guān)，與地點(diǎn)無(wú)關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，它是普適的標度變換，它存在于大與小的自相似之中，由小到大自相似的放大比率就是一個(gè)普適的費根鮑姆常數。”
最后，他感慨萬(wàn)千地寫(xiě)道：“大地充滿(mǎn)了美，引人入勝為什么惠普云打印很慢。看你是什么職業(yè)你就如何理解”。
7．湍流研究和奇怪吸引子
湍流現象普遍存在于行星和地球大氣、海洋、江河、火箭尾流、鍋爐燃燒室、血液流動(dòng)等自然現象和工程技術(shù)中為什么惠普云打印很慢。湍流的出現將使流體中的質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運速度大大加快，從而引起各種機械的阻力驟增，效率下降，能耗加大，噪音增強，結構振顫加劇乃至破壞，如使飛機墜落，輸油管阻塞。另一方面，湍流又可能加速?lài)姎獍l(fā)動(dòng)機內油料的混合和充分燃燒，提高燃燒效率和熱交換效率，加快化學(xué)反應的速度和混合過(guò)程。所以湍流的研究對工程技術(shù)的進(jìn)步有重要意義。同時(shí)湍流本身也是物理學(xué)領(lǐng)域中尚未取得重大突破的基礎研究課題之一。因此長(cháng)期以來(lái)湍流的研究一直受到各方面的重視。
湍流是流體中局部速度、壓力等力學(xué)量在時(shí)間和空間中發(fā)生不規則脈動(dòng)的流體運動(dòng)為什么惠普云打印很慢。其基本特征是流體微團運動(dòng)具有隨機性，它不僅有橫向脈動(dòng)，而且有反向運動(dòng)，各個(gè)微團的運動(dòng)軌跡極其紊亂，各個(gè)部分之間劇烈滲混，流場(chǎng)極不穩定，隨時(shí)間變化很快。湍流的運動(dòng)不僅有無(wú)窮多個(gè)自由度，大、中、小、微各種尺寸的渦旋層層相套，而且運動(dòng)的能量迅速由大尺度運動(dòng)分散到小尺度運動(dòng)，錯綜復雜地由整化零，是高度耗散的。湍流是經(jīng)過(guò)一次或多次突變形成的，在紊亂無(wú)規的背景中又會(huì )出現大尺度、相當規則的結構和協(xié)調一致的運動(dòng)，所以給研究工作帶來(lái)極大的困難，經(jīng)過(guò)一百多年的研究，現在還沒(méi)有得到令人滿(mǎn)意的理論解釋。有一個(gè)傳說(shuō)，說(shuō)量子力學(xué)家海森伯在臨終前的病榻上向上帝提了兩個(gè)問(wèn)題：上帝??！你為何賜予我們相對論？為何賜予我們湍流？海森伯說(shuō)：“我相信上帝也只能回答第一個(gè)問(wèn)題”。
早在1893年，龐加萊就發(fā)現了湍流問(wèn)題，但又偏離了它為什么惠普云打印很慢。他發(fā)現，液體流中的渦旋通常不擴散，而是傾向于集中到單個(gè)渦旋之中。他說(shuō)這一現象還沒(méi)有恰當的數學(xué)解釋。實(shí)際上他討論的是二維現象，還不是真正的湍流，但與間歇現象有明顯的聯(lián)系，表明他已很接近湍流的探討。
1895年為什么惠普云打印很慢，雷諾(Reynolds，Osborne 1842～1912)提出湍流瞬時(shí)運動(dòng)可分解為時(shí)間平均和脈動(dòng)兩個(gè)部分，即
其中 是相應力學(xué)量的時(shí)間平均量，f′是脈動(dòng)值為什么惠普云打印很慢。將這個(gè)分解式代到納維-斯托克斯方程組中，可得到關(guān)于平均流動(dòng)元素滿(mǎn)足的雷諾方程組。但方程組不封閉，多出6個(gè)未知的湍應力分量。只有找到湍應力和平均流動(dòng)元素之間的相應關(guān)系式，才可使方程組封閉，至今這一問(wèn)題仍未獲解決。
法國流體動(dòng)力學(xué)家庫埃特(Couette，M.M.1858～1943)為了研究流體被扭曲的“切變流”，曾制造了一個(gè)筒里套筒的雙圓筒裝置，中間裝上水，使外筒固定，內筒旋轉，有控制地進(jìn)行切變實(shí)驗為什么惠普云打印很慢。1923年，英國應用數學(xué)家泰勒(Taylor，GeoffreyIngram1886～1975)利用這種旋轉同心柱體進(jìn)行實(shí)驗。當內筒轉速足夠高時(shí)，發(fā)現流體不再平穩地轉動(dòng)，而是攪亂成成對的渦旋，渦旋會(huì )變成波狀，波動(dòng)又此起彼伏，出現麻花渦旋、辮子渦旋等螺旋模式；轉速更高時(shí)，系統則呈湍流狀（圖9）。
由于湍流看起來(lái)包含著(zhù)十分微小的渦旋，而小于原子尺度的渦旋又是不可想象的，所以可以設想湍流是原子結構的宏觀(guān)效應為什么惠普云打印很慢。1934年，法國數學(xué)家勒雷(Leray)提出，納維-斯托克斯方程在原子尺度上的不準確度，經(jīng)過(guò)物理流傳播后規模變大而形成湍流。他據此解釋了湍流的間歇現象。1941年，前蘇聯(lián)科學(xué)家柯?tīng)柲宸驅u旋的性質(zhì)提出了一些看法。他設想，大渦旋中形成更小的渦旋，而每一次都會(huì )消耗流體的能量；當渦旋變得非常小，粘性流體的能量也會(huì )減少到一個(gè)極限值。他認為，這些渦旋充滿(mǎn)流體的整個(gè)空間，使得流體處處相同。實(shí)際上這個(gè)均勻性假設并不正確，他忽視了湍流的間歇現象。40年前龐加萊就已經(jīng)看到，在江河的湍流中，渦流總是和平穩流混在一起的，能量?jì)H在空間的一部分中耗散。在湍流區域的各種尺度下，都存在著(zhù)平靜的區域；在從大到小的所有尺度下，洶涌的區域與平靜的區域是互相混雜的。這就是間歇現象。
那么，平穩流是如何變成湍流的呢？也就是說(shuō)湍流開(kāi)始的時(shí)候是通過(guò)什么樣的步驟形成的呢？1944年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家朗道(Landau，Lev 1908～1968)在一篇論文中提出了湍流肇始的一幅圖景：當表征系統中外力與粘滯力競爭的無(wú)量綱雷諾數為零時(shí)，流體將做光滑的平穩流動(dòng)；當由于外界的擾動(dòng)而使雷諾數增大時(shí)，層流中分枝出一個(gè)周期軌道，對應于流體的周期運動(dòng)；當更多的能量進(jìn)入流體，即雷諾數不斷增大時(shí)，每次都出現一個(gè)與上一個(gè)頻率不和諧的頻率；當頻率數足夠大時(shí)，擬周期運動(dòng)即轉變?yōu)橥牧鳛槭裁椿萜赵拼蛴『苈?。?這就是說(shuō)，各種不同頻率的運動(dòng)的積累和疊加，相互交錯干擾，就會(huì )產(chǎn)生非常復雜的湍流。1948年，德國數學(xué)家霍普夫(Hopf，Eberhard1902～1983)按照同朗道一致的思路，提出了一個(gè)更加詳細的理論，即通過(guò)擺振的積累而由平穩層流轉變?yōu)橥牧鞯木唧w機制。此后20多年，霍普夫-朗道理論曾被廣泛接受。
1967年，Kline首先利用氫氣泡顯示技術(shù)通過(guò)實(shí)驗發(fā)現了近壁湍流的相干結構（擬序結構）為什么惠普云打印很慢。這種大尺度的渦旋運動(dòng)在將流體的平均運動(dòng)動(dòng)能轉變?yōu)橥牧鞯膭?dòng)能的過(guò)程中，起了主要的作用。人們通過(guò)進(jìn)一步的流體動(dòng)力學(xué)實(shí)驗，還發(fā)現了自由剪切流的相干結構。到80年代，流體力學(xué)家們普遍認識到相干結構是對湍流的生成、維持和演化起主要作用的結構。所以有人認為相干結構的發(fā)現是湍流研究上的一個(gè)革命性的進(jìn)展。不過(guò)到目前為止，關(guān)于相干結構的定義、成因和定量分析還有不少問(wèn)題有待研究。
關(guān)于湍流的形成，即流體的運動(dòng)是如何從層流轉變成湍流的問(wèn)題，目前流行的看法是認為，在層流中由于各種原因出現的擾動(dòng)波，經(jīng)演化、放大、失穩而導致流體運動(dòng)的不穩定，最終發(fā)展為湍流為什么惠普云打印很慢。
70年代以來(lái)，非線(xiàn)性科學(xué)關(guān)于混沌現象的理論和實(shí)驗研究的進(jìn)展，為解決湍流理論的百年難題提供了啟示為什么惠普云打印很慢。特別為解決湍流的發(fā)生機制、小尺度混亂與大尺度結構共存等問(wèn)題帶來(lái)了希望。
1971年，法國物理學(xué)家茹勒(Ruelle，David)和荷蘭數學(xué)家泰肯斯(Takens，Floris)的《論湍流的本質(zhì)》一文，對湍流的研究產(chǎn)生了很大的影響為什么惠普云打印很慢。他們的結論否定了霍普夫-朗道關(guān)于湍流起始階段的傳統觀(guān)點(diǎn)。朗道和霍普夫的直覺(jué)即一系列不同頻率擺振的累積在數學(xué)上和物理學(xué)上似乎是容易理解的，但他們的理論在某種程度上是源于哈密頓動(dòng)力學(xué)的，不適用于有摩擦的耗散系統。在粘滯流體的流動(dòng)中充滿(mǎn)著(zhù)摩擦。茹勒和泰肯斯指出，由平穩流向湍流的轉變，不需要一系列的頻率，只要三個(gè)獨立的運動(dòng)就會(huì )產(chǎn)生湍流的全部復雜性。他們描繪出如下的圖景：第一次轉變，即從定態(tài)到單個(gè)擺振，產(chǎn)生流體中的周期運動(dòng)。第二次轉變，即加上一個(gè)不同頻率的擺振，開(kāi)始時(shí)像兩個(gè)獨立的周期運動(dòng)的擬周期疊加，但這種運動(dòng)不能繼續保持下去，微小的擾動(dòng)就會(huì )破壞掉它。兩個(gè)獨立的周期運動(dòng)將相互作用而變得同步，合成為具有單個(gè)合成周期的周期運動(dòng)，即發(fā)生鎖頻現象。當有三個(gè)疊加頻率時(shí)，不再發(fā)生頻率的鎖定現象，而會(huì )出現一個(gè)新奇的結果，即運動(dòng)進(jìn)入維數不多的“奇怪吸引子”。他們認為，湍流能量的耗散，必定導致相空間的壓縮，把運動(dòng)軌跡向著(zhù)吸引子的低維相區推進(jìn)。這個(gè)吸引子不會(huì )是不動(dòng)點(diǎn)，因為湍流不會(huì )逐漸平息；也不會(huì )是周期吸引子，因為湍流是一種不同次序的性態(tài)，決不可能產(chǎn)生任何排斥其它節奏的節奏，它具有各種可能循環(huán)的整個(gè)寬譜。其相軌跡可能是一種繼續不斷變化、沒(méi)有明顯規則或次序的許多回轉曲線(xiàn)，所以稱(chēng)為“奇怪吸引子”。茹勒和泰肯斯論文中的一些推理和證明是模糊的、錯誤的，但他們提出的“奇怪吸引子”的圖象，卻是十分吸引人的。因為湍流的產(chǎn)生可能很好地對應于奇怪吸引子的出現。這是對湍流產(chǎn)生機制的一個(gè)很好的闡明。
1973年，美國實(shí)驗物理學(xué)家斯文尼(Swinney，Harry)和戈魯布(Gollub，Jerry)利用旋轉同心柱體產(chǎn)生的庫埃特-泰勒流進(jìn)行實(shí)驗為什么惠普云打印很慢。外面是一個(gè)玻璃圓筒，有空網(wǎng)球筒那么大；內柱體是用平滑的薄鋼板做成的；兩柱體之間有八分之一英寸的間隙用來(lái)裝水。他們利用激光多普勒干涉儀技術(shù)，即利用激光光束在懸浮于水中的小小鋁粉片上的散射，來(lái)測定水的速度變化。本來(lái)他們是打算驗證朗道關(guān)于由液體中不同頻率擺振的平穩積累而形成湍流的論斷。他們不斷調節內柱體的旋轉速度，反復觀(guān)察出現的躍遷。他們觀(guān)察到了朗道預言的第一個(gè)轉變的精確數據；他們大膽地尋找著(zhù)下一個(gè)轉變。但是，他們未能找到預期的朗道序列，在下一個(gè)躍遷處，流一下子進(jìn)入混亂狀態(tài)，一點(diǎn)也沒(méi)有可準確識別的新頻率；相反，卻逐漸顯出寬帶頻率。“我們的發(fā)現是，變成了混沌！”不過(guò)，當時(shí)他們還不知道茹勒-泰肯斯理論。
1974年，茹勒訪(fǎng)問(wèn)斯文尼和戈魯布的實(shí)驗室時(shí)，三位物理學(xué)家才發(fā)現了他們的理論和實(shí)驗之間的點(diǎn)滴聯(lián)系為什么惠普云打印很慢。斯文尼和戈魯布沒(méi)有用他們的實(shí)驗觀(guān)察奇怪吸引子，也沒(méi)有檢測湍流最初階段的具體步驟，不過(guò)他們知道，朗道錯了；而且他們猜測茹勒是對的。
1983年，法國數學(xué)家曼德?tīng)柌剂_特(Mandelbrot，Benoit)指出，湍流的耗散區域，即湍流中大大小小不同尺度的渦旋高度集中的區域，是一種間歇狀的分形結構，具有局部的自相似性為什么惠普云打印很慢。因此分形理論在湍流的研究中也有重要應用。
由于湍流的瞬時(shí)運動(dòng)服從納維-斯托克斯方程，而這一方程本身就是封閉的，所以很容易直接用電子計算機數值求解完整的納維-斯托克斯方程，對湍流的瞬時(shí)流動(dòng)進(jìn)行直接的數值模擬為什么惠普云打印很慢。不過(guò)由于受到計算機速度和容量的限制，目前的數值模擬還只限于很低的雷諾數和很簡(jiǎn)單的幾何邊界條件的情況；而實(shí)際的湍流運動(dòng)大多發(fā)生在高雷諾數和邊界條件很復雜的情況。所以，湍流的完整理論的形成，還需做很多艱巨的工作。茹勒和泰肯斯提出的“奇怪吸引子”理論，并不只對湍流的研究有重要意義，而是對整個(gè)混沌理論的發(fā)展都有重要作用。利用相空間描述系統的演化要用到“吸引子”概念。一般的動(dòng)力系統，最終都會(huì )趨向于某種穩定態(tài)，這種穩定態(tài)在相空間里是由點(diǎn)（某一狀態(tài)）或點(diǎn)的集合（某種狀態(tài)序列）來(lái)表示的。這種點(diǎn)或點(diǎn)的集合對周?chē)能壍浪坪跤蟹N吸引作用，從附近出發(fā)的任何點(diǎn)都要趨近于它；系統的運動(dòng)也只有到達這個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)集上才能穩定下來(lái)并保持下去，這種點(diǎn)或點(diǎn)集就是“吸引子”。它表示著(zhù)系統的穩定定態(tài)，是動(dòng)力系統的最終歸縮，即系統行為最終被吸引到的相空間處所。
經(jīng)典力學(xué)指出，有三種類(lèi)型的吸引子為什么惠普云打印很慢。一種是穩定的不動(dòng)點(diǎn)，它代表一個(gè)穩定定態(tài)；第二種是穩定的“極限環(huán)”，即相空間中的封閉軌線(xiàn)，在它外邊的軌線(xiàn)都向里卷，在它里邊的軌線(xiàn)都向外伸，都以這個(gè)封閉曲線(xiàn)為其極限狀態(tài)。極限環(huán)代表一種穩定的周期運動(dòng)；第三類(lèi)吸引子是穩定的環(huán)面，代表系統的準周期運動(dòng)。
對一個(gè)動(dòng)力系統來(lái)說(shuō)，在長(cháng)時(shí)間后系統的性態(tài)只可能是吸引子本身，其它的性態(tài)都是短暫的為什么惠普云打印很慢。所以吸引子的一個(gè)重要特征是“穩定性”，它表示著(zhù)運動(dòng)的最終趨向或“演化目標”，運動(dòng)一旦進(jìn)入吸引子，就不會(huì )再離開(kāi)它；當一個(gè)小的擾動(dòng)使系統暫時(shí)偏離吸引子后，它也必然會(huì )再返回來(lái)的。吸引子的另一個(gè)重要特征是“低維性”，它作為相空間的點(diǎn)集合，其維數必定小于相空間的維數。
上述幾類(lèi)吸引子，都代表規則的有序運動(dòng)，所以只能用于描述經(jīng)典動(dòng)力系統，而不能描述混沌運動(dòng)為什么惠普云打印很慢。有耗散的混沌系統的長(cháng)期行為也要穩定于相空間的一個(gè)低維的點(diǎn)集合上，這些點(diǎn)集合也是一種吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它絕不可能最終到達規則的有序運動(dòng)；因而在它的吸引子內部，運動(dòng)也是極不穩定的。在這種吸引子上，系統的行為呈現典型的隨機性，是活躍易變和不確定的。更為奇特的是，混沌系統的吸引子（點(diǎn)集合）具有極其復雜的幾何圖象，如果沒(méi)有電子計算機這種高效工具，混沌吸引子是無(wú)法繪制出來(lái)的。所以茹勒和泰肯斯把它們稱(chēng)為“奇怪吸引子”，以區別于前述那幾種“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有穩定性和低維性的特點(diǎn)，同時(shí)還具有一個(gè)突出的新特點(diǎn)，即非周期性——它永遠不會(huì )自相重復，永遠不會(huì )自交或相交。因此，奇怪吸引子的軌線(xiàn)將會(huì )在有限區域內具有無(wú)限長(cháng)的長(cháng)度。
洛侖茲所給出的那個(gè)繞兩葉回轉的永不重復的軌線(xiàn)，就是一個(gè)奇怪吸引子——“洛侖茲吸引子”為什么惠普云打印很慢。它是在三維空間里的一類(lèi)雙螺旋線(xiàn)；系統的軌道在其中的一葉上由外向內繞到中心附近，然后突然跳到另一葉的外緣由外向內繞行；然后又突然跳回原來(lái)的那一葉上。但每一葉都不是一個(gè)單層的曲面，而是有多層結構。從中取出任意小的一個(gè)部分，從更精細的尺度上看，又是多層的曲面。所以這種螺旋線(xiàn)真是高深莫測、復雜異常。它永遠被限制在有限的空間內，卻又永不交結，永無(wú)止境。1976年，德國的若斯勒考察了一個(gè)更為簡(jiǎn)化的洛侖茲方程
dx/dt=-(y+z)
dy/dt=x+ay
dz/dt=b+xz-cz
這個(gè)方程組的特點(diǎn)是只有最后一個(gè)方程中含有非線(xiàn)性項xz為什么惠普云打印很慢。若斯勒由這個(gè)方程組得出了一個(gè)洛侖茲吸引子的變種（圖10）。
它也是由很多層次構成的復雜幾何圖象為什么惠普云打印很慢。與洛侖茲吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是這樣形成的：當z較小時(shí)，系統的軌道在(x，y)平面或平行于它的平面內向外旋；當x足夠大時(shí)，z開(kāi)始起作用，軌道在z軸方向拉長(cháng)；當z變大后，dx/dt則變小，軌道又被拉回到x較小處。三個(gè)變量的交互作用，產(chǎn)生了軌線(xiàn)的復雜運動(dòng)。
除此之外，混沌學(xué)家們還得到了一些其它的奇怪吸引子為什么惠普云打印很慢。可以斷言，充分認識奇怪吸引子的作用，對許多問(wèn)題的探索，都會(huì )有巨大的作用。不過(guò)，奇怪吸引子的數學(xué)理論是困難的，目前還處于起始的階段。正像茹勒所說(shuō)：①“這些曲線(xiàn)的花樣，這些點(diǎn)子的影斑，往往使人聯(lián)想到五彩繽紛的煙火，或寬闊無(wú)垠的銀河；也往往使人聯(lián)想到奇怪的、令人煩躁不安的植物繁殖。一個(gè)嶄新的領(lǐng)域展現在我們面前，其結構需要我們去探索，其協(xié)調（和諧）需要我們去發(fā)現。”
8．生理混沌的探索
70年代以來(lái)，在生物個(gè)體的生理現象中，也廣泛地發(fā)現了混沌為什么惠普云打印很慢。
生物體全身的每個(gè)器官，都有自己的節律為什么惠普云打印很慢。生命的存在，就是一個(gè)耦合振子，即各種內在節律振動(dòng)的巧妙組合。一旦某種節律失調，就會(huì )使生命體患上某種疾病。
心臟的搏動(dòng)，是推動(dòng)一切生命節律的中心環(huán)節為什么惠普云打印很慢。正常的心律是周期性的。人的心搏大約是每分鐘50到100次，日復一日、年復一年地進(jìn)行著(zhù)；但是它有許多非周期的病，例如對生命危險極大的心室纖維性顫動(dòng)。不同的心肌彼此不合節律地收縮，不協(xié)調地亂動(dòng)一起，起不到正常泵血的作用，終致使病人死亡。病者心臟的各個(gè)部分似乎都是正常的，節律依然是規則的；但心臟的整體運動(dòng)，卻致命地扭曲了，陷入了穩態(tài)混沌。這是一種復雜系統疾病。心臟自己不會(huì )停止這種纖顫，只有用電擊除顫器來(lái)消除。這種電震擊是一個(gè)巨大的擾動(dòng)，可以使心臟返回到定態(tài)。為什么心臟的節律在人的一生中經(jīng)歷幾百億次的搏動(dòng)，其中經(jīng)過(guò)多少次的緊張與松弛，加速與減速，從未失誤，然而卻會(huì )突然進(jìn)入一種無(wú)法控制的、致命的瘋狂節律——纖顫呢？研究表明，有一類(lèi)重要的心律失?？赡苁撬^“模式鎖定”引起的，即兩種并行收縮心律的相互作用產(chǎn)生的。從物理學(xué)上講，就是外來(lái)的迫動(dòng)頻率與物體振蕩的固有頻率以某種簡(jiǎn)單的數字比率達到同步，這稱(chēng)為“鎖相”。加拿大數學(xué)生物學(xué)家列昂#8226;格拉斯(Glass，Leon 1943～)和他的同事在1981年進(jìn)行了一個(gè)有趣的實(shí)驗。他們從雞胚心臟中取出一團細胞，這團細胞能夠自發(fā)跳動(dòng)，相當于固有振蕩器，每分鐘跳動(dòng)60次到120次。然后用一根極細的玻璃微電極插入細胞團，打入一個(gè)相當于迫振的周期性小電震。改變電脈沖的頻率和振幅，結果不僅產(chǎn)生了各種“鎖相”，而且產(chǎn)生了混沌。他們觀(guān)察到了搏動(dòng)方式一次又一次地出現了分叉，即“倍周期”現象。這個(gè)結果表明，模式鎖定可以導致混沌，即使雞胚心臟的細胞團混沌地搏動(dòng)。
科學(xué)家們的研究表明，一個(gè)參數的微小變化，可以把一個(gè)健康的心臟推進(jìn)到一個(gè)雙分枝點(diǎn)而進(jìn)入混沌態(tài)為什么惠普云打印很慢。科學(xué)家們希望通過(guò)混沌動(dòng)力學(xué)的研究，能夠找到一種方法，在危急的纖顫發(fā)生之前，辨認出它的來(lái)臨；并設計出最有效的除顫裝置和治療藥物，使這些猜想盲試的方法變得比較科學(xué)。
類(lèi)似的動(dòng)力系統疾病現在也越來(lái)越多地被認識為什么惠普云打印很慢。這類(lèi)疾病是由于系統的原有振蕩停止或振蕩方式改變引起的。例如喘息、嬰兒窒息、精神分裂癥、某種類(lèi)型的抑郁癥，還有由于白細胞、紅細胞、血小板、淋巴細胞失衡而導致的某種白血病等。但是，生理學(xué)家已開(kāi)始認識到，生理混沌可以導致疾病，它也可能是健康的保證。一個(gè)生命系統固然需要有抗干擾性，如心肌細胞和神經(jīng)細胞能夠很好地抵抗外界的干擾；但生物系統還需要有靈活性，即能夠在一個(gè)很大的頻率范圍內適應外界的各種變化而正常工作。環(huán)境的變化常常是難以預料的，生物機體必須能夠迅速地對各種變化做出反應。如果機體的某種功能鎖定在一個(gè)嚴格固定的模式里不可改變，那就會(huì )喪失掉對外界變化的適應能力。例如把心臟搏動(dòng)與呼吸節律都鎖入一個(gè)嚴格的周期中，在機體松弛與緊張的不同狀態(tài)，在空氣稀稠不同的各種海拔高度上，都只有同一種節律，這個(gè)生物體就不可能存活下去。人體的其他許多節律也都如此，都必須有多種變化的可能。哈佛醫學(xué)院的戈爾德伯格(Goldberger，Ary L.)斷言，健康的動(dòng)力學(xué)標志就是分形物理結構；治療疾病時(shí)應著(zhù)眼于拓寬一個(gè)系統的譜儲備，即增加產(chǎn)生不同頻率的能力。“廣譜的分形過(guò)程是‘信息上極為豐富的’。與此相反，周期態(tài)只能反映狹窄譜帶，它必然是單調的、重復的系列，信息內容貧乏。”①圣迭戈的精神病學(xué)家阿諾德#8226;曼德?tīng)?Mandell，Arnold)甚至說(shuō)：“可能是這樣，數學(xué)上的生理衛生健康其實(shí)就是疾病，而數學(xué)上的病理才是健康，即混沌態(tài)才是健康。”②他認為，人體中最混沌的器官就是腦，說(shuō)人達到了平衡，那就是死亡，生物學(xué)平衡即死亡。“如果你被我詢(xún)問(wèn)你的頭腦是否在平衡態(tài)，你的腦是否一個(gè)平衡系統，那就是說(shuō)，要求你在幾分鐘的時(shí)間里不要去胡思亂想，而你這時(shí)自己就會(huì )知道你的大腦并非平衡系統。”科學(xué)家們也已開(kāi)始用混沌來(lái)研究人工智能。例如利用系統動(dòng)力學(xué)在多個(gè)吸引流域之間的來(lái)回變遷與溝通來(lái)模擬符號與記憶。人的精神思想包含著(zhù)豐富的概念、決策、情緒和七情六欲，不能把精神和思想描繪成靜態(tài)的數學(xué)模型，它具有一系列尺度的層次，神經(jīng)元實(shí)現著(zhù)各種微觀(guān)尺度與宏觀(guān)尺度的交融聯(lián)系，這與流體力學(xué)中的湍流或其它復雜的動(dòng)力系統十分相似。量子物理學(xué)家薛定諤(1887～1961)在《生命是什么？》這部名著(zhù)中提出：生命以負熵為食；一個(gè)活的生物體有驚人的本領(lǐng)去濃縮“有序性之流”于自身之中，從而使生命避免融入原子混沌的崩潰之路。這正是生命活動(dòng)的最基本的奧秘，它吮吸有序性于無(wú)序的海洋之中！他指出，生命的基本物質(zhì)是“非周期晶體”，它組成了生物體這個(gè)十分動(dòng)人的、復雜的物質(zhì)結構。所以，非周期性正是生命奇特性質(zhì)近于神妙境地的根源！無(wú)論人們如何看待混沌，但無(wú)論如何也不能把混沌和非周期性從人體、生命、精神思想中排除出去了。
通過(guò)混沌探索的歷史回顧，我們可以斷言，混沌學(xué)正在改變著(zhù)整個(gè)科學(xué)建筑的結構，改變著(zhù)整個(gè)科學(xué)世界圖景為什么惠普云打印很慢。混沌學(xué)的發(fā)展，或者更廣義地說(shuō)，非線(xiàn)性科學(xué)的發(fā)展，撥正了科學(xué)探索的方向盤(pán)。未來(lái)科學(xué)的任務(wù)，不是使用經(jīng)典確定論的手術(shù)刀剖析明白宇宙的鐘表結構，而是按照確定性與隨機性統一的觀(guān)點(diǎn)，闡明客觀(guān)世界這個(gè)超巨系統的復雜結構和運行方式，揭示它演化發(fā)展的機理與途徑。J.格萊克(Gleick，James)在《混沌》一書(shū)中寫(xiě)道：“這門(mén)新科學(xué)的最熱情的鼓吹者們竟然宣稱(chēng)：20世紀的科學(xué)只有三件事將被永志不忘，那就是相對論、量子力學(xué)和混沌。他們認為混沌是20世紀物理學(xué)的第三場(chǎng)大革命。與前兩場(chǎng)革命相似，混沌與相對論及量子力學(xué)一樣沖跨了牛頓物理學(xué)的基本原則。正如一位物理學(xué)家所說(shuō)：‘相對論消除了絕對空間和時(shí)間的牛頓幻覺(jué)；量子力學(xué)消除了關(guān)于可控測量過(guò)程的牛頓迷夢(mèng)；混沌則消除了拉普拉斯決定論關(guān)于可預見(jiàn)性的狂想’。而這第三場(chǎng)革命又有一些不同，它直接適用于我們看得見(jiàn)摸得著(zhù)的世界，是在和人類(lèi)自身尺度大小差不多的對象中發(fā)生的過(guò)程。”
分形與分維研究
1．分形與“無(wú)窮嵌套的自相似結構”
兩千多年來(lái)，古希臘人創(chuàng )立的幾何學(xué)，一直是人們認識自然物體形狀的有力工具為什么惠普云打印很慢。經(jīng)典幾何學(xué)所描繪的都是由直線(xiàn)或曲線(xiàn)、平面或曲面、平直體或曲體所構成的各種幾何形狀，它們是現實(shí)世界中物體形狀的高度抽象。天文學(xué)家們用這種幾何知識構造了多種宇宙理論，建筑師們利用它設計出大量宏偉的建筑；以致于近代物理學(xué)的奠基者、偉大的科學(xué)家伽利略極其權威地斷言：大自然的語(yǔ)言是數學(xué)，“它的標志是三角形、圓和其他幾何圖形”。
然而事實(shí)上，傳統幾何學(xué)的功能并不是那么大的，它所描述的只是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的規則形體為什么惠普云打印很慢。這類(lèi)形體在自然界里只占極少數。自然界里普遍存在的幾何形體大多數是不規則的、不光滑的、不可微的，甚至是不連續的。如蜿蜒起伏的山脈，曲折凸凹的海岸線(xiàn)，坑坑洼洼的地面，枝干縱橫的樹(shù)枝，團塊交疊的浮云，孔穴交錯的蛋糕……真是奇形怪狀，千姿百態(tài)。這些形狀和經(jīng)典幾何學(xué)所描述的形狀，真是大相徑庭。對于了解自然界的復雜性來(lái)講，歐幾里得幾何學(xué)是一種不充分、不具有普遍性的抽象。1975年冬天的一天，正在思索著(zhù)現實(shí)世界真實(shí)幾何形象問(wèn)題的法國數學(xué)家曼德?tīng)柌剂_特(Mandelbrot，B.B.)隨手翻閱他兒子的字典，注意到了拉丁字“fractus”，這個(gè)來(lái)自動(dòng)詞frangere的形容詞含有破裂之意。他由此創(chuàng )立了“分形”(fractal)這個(gè)概念，并由此創(chuàng )立了“分形幾何理論”，從而把數學(xué)研究擴展到了傳統幾何學(xué)無(wú)法涉足的那些“病態(tài)曲線(xiàn)”和“幾何學(xué)怪物”的領(lǐng)域。曼德?tīng)柌剂_特說(shuō)：“云朵不是球，山巒不是錐，海岸線(xiàn)不是圓，樹(shù)皮不光滑，閃電也不走直線(xiàn)。”分形幾何學(xué)所映射出的自然事物不是光滑無(wú)瑕、平坦規整的，而是凸凹不平、粗糙叢雜、扭曲斷裂、糾結環(huán)繞的幾何形體。
自然界的現象通常都發(fā)生在某種特征標度上，如特征長(cháng)度、特征時(shí)間等特征尺度上為什么惠普云打印很慢。科學(xué)家關(guān)于事物特征的描述最基本的莫過(guò)于問(wèn)它有多大，持續多久。這都是依賴(lài)于標度（尺度）的一些基本性質(zhì)。每種事物都有其特征尺度，例如天體物理學(xué)家描寫(xiě)的宇宙結構，大約在數百萬(wàn)光年的范圍上；生物學(xué)家認識的微生物的結構大約有微米的長(cháng)度；物理學(xué)家研究的夸克，約在10-13厘米的數量級上。每一個(gè)具體事物，都與特定的尺度相連系。幾厘米長(cháng)的昆蟲(chóng)與幾米、十幾米大小的巨獸在形態(tài)、結構上必然極不相同，否則它們就無(wú)法生存和繁衍。《楚辭#8226;卜居》中說(shuō)：“夫尺有所短，寸有所長(cháng)”。這也是說(shuō)事物都有其自己的特征尺度，要用適宜的尺去測度。用寸來(lái)量度細菌，用尺來(lái)量度萬(wàn)里長(cháng)城，前者失之過(guò)長(cháng)，后者又嫌太短。所以，標度是十分重要的。試圖對自然現象做定量描寫(xiě)時(shí)，就必須從特征尺度入手。一個(gè)好的理論模型，往往要涉及三個(gè)層次：首先是由特征尺度確定的基本層次；更大尺度的環(huán)境就用“平均場(chǎng)”和決定外力的“位勢”等描寫(xiě)；更小尺度上的相互作用，則以“摩擦系數”、“擴散系數”等得自于實(shí)驗的“常數”來(lái)表征。如果要從理論上對這些系數做出闡明和推算，那就必須從物質(zhì)運動(dòng)的更深入細微的層次上進(jìn)行探討。
但是，分形幾何學(xué)卻否定了關(guān)于事物大小和久暫的區分的絕對標度性，指出對于大自然的某些現象，去尋求特征尺度是毫無(wú)意義的為什么惠普云打印很慢。曼德?tīng)柌剂_特研究過(guò)電子通訊中的噪音，研究過(guò)河水泛濫的數據，還研究過(guò)棉花價(jià)格的漲落。通過(guò)這些研究，他開(kāi)始形成實(shí)際的圖象。在他的關(guān)于現實(shí)的圖象里竟然沒(méi)有二分法的位置，無(wú)法把微小的變化與宏大的變化分離開(kāi)來(lái)，而是把它們緊緊地聯(lián)系在一起。他所尋找的圖象，無(wú)所謂小尺度和大尺度的差異，而是超越一切尺度；它不是左和右的對稱(chēng)、上和下的對稱(chēng)，而是大尺度與小尺度之間的對稱(chēng)。曼德?tīng)柌剂_特把1900年以來(lái)棉花價(jià)格的數據通過(guò)計算機處理，確實(shí)找到了他所追求的驚人的結果。那些從正態(tài)的誤差分布觀(guān)點(diǎn)看來(lái)產(chǎn)生偏離的數，從尺度觀(guān)點(diǎn)看卻發(fā)現了對稱(chēng)。每一天的價(jià)格變化曲線(xiàn)與每一個(gè)月的價(jià)格變化曲線(xiàn)完全匹配。雖然其間經(jīng)歷了兩次世界大戰和一次經(jīng)濟大蕭條，但在60年的周期里，竟然有價(jià)格的變異度不變的基本規律。在極為無(wú)序的大量數據的內部，竟然存在著(zhù)如此出人預料的序，完全具有任意性的數據竟然被一條規律所支配，這個(gè)尺度問(wèn)題看來(lái)具有自己的生命。這使曼德?tīng)柌剂_特從對實(shí)際現象的研究轉向探索尺度現象。
曼德?tīng)柌剂_特關(guān)于大自然過(guò)程里不規整花樣的研究以及他關(guān)于無(wú)窮復雜形象的探索最終匯流到一個(gè)交結點(diǎn)上，這就是自然事物的“自相似”這個(gè)特性為什么惠普云打印很慢。“大自然在所有標度上同時(shí)起作用”。自然界的許多事物在其內部的各個(gè)層次上都具有自相似的結構，在一個(gè)花樣內部還有更小的同樣的花樣。自相似物體不具有特征標度，它是跨越尺度的對稱(chēng)性；它在不同測量尺度上看去差不多一樣，是一種“無(wú)窮嵌套的自相似結構”。“分形”就意味著(zhù)“自相似”。一個(gè)幾何圖形，如果它的組成部分與圖形整體之間有某種相似性，就稱(chēng)為“分形”。“自相似”的思想在人類(lèi)文化的各個(gè)方面都有所反映。中國古代就有“袖里有乾坤，壺中有日月”和“一塵一世界”的說(shuō)法。曼德?tīng)柌剂_特曾引頌《格列佛游記》的作者J.斯韋夫特(J.Swift1667～1745)的一首打油詩(shī)：“博物學(xué)家看仔細，大蚤身上小蚤棲；更有微蚤叮小蚤，遞相嚙噬無(wú)盡期。”德國哲人萊布尼茲(G.W.F.VonLeibniz1646～1716)也曾設想，在一滴水里包含著(zhù)多姿多彩的世界，其中又有許多滴水，每滴水又各有新的世界。
海岸線(xiàn)就是天然存在的一個(gè)分形為什么惠普云打印很慢。曼德?tīng)柌剂_特在一篇題為《英國的海岸線(xiàn)有多長(cháng)》①的文章里做出這樣的結論：任何海岸線(xiàn)，在某種意義上都是無(wú)限長(cháng)的；在另一種意義上說(shuō)則決定于你所選用的尺的長(cháng)度。因為在不同標度上描繪的海岸線(xiàn)圖，都顯示出相似的灣、岬分布。每一個(gè)大灣中都有小灣和小岬，那些小灣和小岬中又有更小的灣和岬；把這些灣和岬放大后和實(shí)際的海岸線(xiàn)仍然相似。正如曼德?tīng)柌剂_特所說(shuō)：“當你初次在一張比例尺為十萬(wàn)分之一的地圖看到的一個(gè)海灣或半島重新在一張比例尺為一萬(wàn)分之一的地圖上被觀(guān)察時(shí)，無(wú)數更小的海灣和更小的半島就變得清晰可見(jiàn)了。在一張比例尺為一千分之一的地圖上，更小更小的海灣和更小更小的半島又出現了。”所以，你如果用一米的尺沿海岸測量，可以得出一個(gè)近似的長(cháng)度，因為實(shí)際上你已經(jīng)把小于一米的曲曲彎彎部分忽略掉了。如果改用一厘米的尺去量，一些小的曲折將被計入，得到的海岸線(xiàn)將會(huì )增長(cháng)。隨著(zhù)測度標尺的變小，海岸線(xiàn)的長(cháng)度會(huì )不斷加長(cháng)，永遠不會(huì )收斂于一個(gè)極限數值。其根本原因就在于海岸線(xiàn)是一個(gè)無(wú)窮嵌套的自相似結構。
分形不僅在所有的標度上都有結構，而且在所有標度上都有相同的結構為什么惠普云打印很慢。1904年，瑞典數學(xué)家科赫(Koch，Helge Von 1870～1924)構造的“雪花曲線(xiàn)”，嚴格地顯示了分形這種有趣的特征。設想給出一個(gè)正三角形，再不斷進(jìn)行如下變換：在每邊正中的1/3邊上再造一個(gè)凸出來(lái)的正三角形，使原三角形變成六角形；在這個(gè)六角形的12條邊的每條邊中間的1/3上再凸出一個(gè)正三角形，變成一個(gè)4×12=48邊形；反復操作這種變換以至無(wú)窮（圖11），其邊緣愈來(lái)愈增添精細結構，得到一個(gè)由分形曲線(xiàn)（“科赫曲線(xiàn)”）圍成的科赫島，好似一個(gè)雪花。科赫曲線(xiàn)是一條連續的環(huán)，絕不自身相交；每次變換都會(huì )使“科赫島”的面積稍有增加，但總面積永遠是有限的，并不比原三角形的面積大很多（小于原三角形的外接圓）；但科赫曲線(xiàn)的總和卻是無(wú)窮長(cháng)的。這似乎是一個(gè)矛盾的結果：島的面積有限，但周長(cháng)無(wú)窮大；或者說(shuō)一條無(wú)限長(cháng)又絕不自交的曲線(xiàn)包圍成了一個(gè)有限的面積。
數學(xué)家們還構造了許多類(lèi)似的一維的、二維的和三維的分形結構為什么惠普云打印很慢。如“康托爾灰塵”（圖12）；在一條線(xiàn)段上去掉中間的1/3；然后對所余二段各去掉其中間的1/3；反復操作下去，剩下的即康托爾集合。它是一些點(diǎn)非點(diǎn)、線(xiàn)非線(xiàn)的東西，數量為無(wú)窮多，但總長(cháng)度為零。另如“塞爾平斯基地毯”（圖13甲）和它的三維類(lèi)似“孟格爾海綿”（圖13乙）。前者總面積為零而孔線(xiàn)長(cháng)度無(wú)窮大；后者總體積為零而總的表面積無(wú)窮大。在當時(shí)許多數學(xué)家的頭腦里，認為這些曲線(xiàn)或形狀是“病態(tài)的”，似乎大自然不應如此。但曼德?tīng)柌剂_特卻由這些一層比一層精細的相似結構中，窺視到了宇宙的秘密。
2．分維概念的提出
對于歐幾里得幾何所描述的整形來(lái)說(shuō)，可以由長(cháng)度、面積、體積來(lái)測度為什么惠普云打印很慢。但用這種辦法對分形的層層細節做出測定是不可能的。曼德?tīng)柌剂_特放棄了這些測定而轉向了維數概念。分形的主要幾何特征是關(guān)于它的結構的不規則性和復雜性，主要特征量應該是關(guān)于它的不規則性和復雜性程度的度量，這可用“維數”來(lái)表征。維數是幾何形體的一種重要性質(zhì)，有其豐富的內涵。整形幾何學(xué)描述的都是有整數維的對象：點(diǎn)是零維的，線(xiàn)是一維的，面是二維的，體是三維的。這種幾何對象即使做拉伸、壓縮、折疊、扭曲等變換，它們的維數也是不變的；這種維數稱(chēng)為“拓撲維”，記為d。例如當把一張地圖卷成筒，它仍然是一個(gè)二維信息載體；一根繩子團成團，仍然是一維結構。但曼德?tīng)柌剂_特認為，在分形世界里，維數卻不一定是整數的。特別是由于分形幾何對象更為不規則，更為粗糙，更為破碎，所以它的分數維（簡(jiǎn)稱(chēng)“分維”，記為D）不小于它的拓撲維，即D≥d。
維數和測量有密切關(guān)系為什么惠普云打印很慢。如為了測一平面圖形的面積，就要用一個(gè)邊長(cháng)為l、面積為l2的標準面元去覆蓋它，所得的數目就是所測的面積。如果用長(cháng)度l去測面積，就會(huì )得到無(wú)窮大；而如果用l3去測這塊面積，結果就是零。這就表明，用n維的標準體ln去測量一個(gè)幾何對象，只當n與拓撲維數d一致時(shí)，才能得出有限的數值。如果n＜d，就會(huì )得到無(wú)窮大；如果n＞d，則結果為零。分數維也是按照這個(gè)要求來(lái)定義的。由于分形的復雜性有多種不同類(lèi)型，所以可以提出不同定義的分維概念，從不同的角度表示分形的不規則性。通常用的是“容量維”。簡(jiǎn)單地說(shuō)，分維所表示的不規整程度，相當于一個(gè)物體占領(lǐng)空間的本領(lǐng)。一條光滑的一維直線(xiàn)，完全不能占領(lǐng)空間；但是“科赫曲線(xiàn)”卻有無(wú)窮的長(cháng)度，比光滑的直線(xiàn)有更多的折皺，擁擠在一個(gè)有限的面積里，的確占領(lǐng)了空間，它已不同于一條直線(xiàn)，但又小于一個(gè)平面。所以它大于一維，又小于二維，它的容量維為1.2618，這看來(lái)是理所當然的。海岸線(xiàn)的分維數通常在1.15到1.25之間。曼德?tīng)柌剂_特指出，對于各種分形來(lái)說(shuō)，即使在不同的尺度上，用分維表示的不規整程度卻是一個(gè)常量。這真是一個(gè)令人驚奇的性質(zhì)，也表明“分維”概念的客觀(guān)現實(shí)特性。分維所表征的正是大自然的規則的不規則性。一個(gè)分形的曲線(xiàn)意味著(zhù)一種有組織的結構，這個(gè)結構隱藏在奇特怪異的形狀之中。
分形和混沌動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系很快就被發(fā)現了為什么惠普云打印很慢。混沌的奇怪吸引子都是分形。結構的復雜性使現實(shí)世界出現了大量分形幾何形體，也使確定性動(dòng)力學(xué)體系出現無(wú)規性。奇怪吸引子都有層次的自相似性。無(wú)窮相似結構互相套疊起來(lái)，就相當于沒(méi)有規則結構，所以“無(wú)窮嵌套的自相似結構”呈現出總體的混沌。非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統一旦進(jìn)入混沌吸引子區域，就會(huì )隨機地在吸引子內部四處游蕩，但又不能充滿(mǎn)整個(gè)區域，區域內存在著(zhù)無(wú)窮多的隨機空隙，從而使整個(gè)混沌區出現維數上的“空洞”，呈現分數維數。
洛侖茲吸引子就是三維背景空間中的一張分形曲面，其容量維等于2.06；若斯勒吸引子也是三維背景空間中的一張分形曲面為什么惠普云打印很慢。所以，“分形幾何學(xué)”和“分維”概念已經(jīng)成為混沌學(xué)研究的重要工具。