功能強大的不定積分公式，能幫你解決很多復雜的不定積分

老黃要探究一個(gè)問(wèn)題：若何求不定積分∫x^a*(lnx)^ndx, n∈N*, a≠0?

通過(guò)探究那個(gè)問(wèn)題，就能夠得到一個(gè)不定積分公式，它是以至老黃前面分享過(guò)的另一個(gè)不定積分公式的。下面間接運用：

解：記t=lnx, 則x=e^t, dx=de^t=e^tdt,【換元積分法的應用】

原積分=∫t^n*e^((a+1)t)dt=∑(i=0-n)(-1)^i*n!/((n-i)!*(a+1)^(i+1))*t^(n-i)e^((a+1)t)+C【老黃前面推導出來(lái)的公式，那里稱(chēng)之為公式(1)，形式上有所改動(dòng)，本色穩定，你能夠從《老黃學(xué)高數》系統視頻第254講中找到那個(gè)公式的推導過(guò)程.】

=∑(i=0-)(-1)^i*n!/((n-i)!(a+1)^(i+1) )x^(a+1)*(lnx)^(n-i)+C.【那是一個(gè)新的公式，那里稱(chēng)之為公式(2)】

運用例題和操練來(lái)見(jiàn)證它的強大功用。例1老黃會(huì )用三種解法給各人做一個(gè)比力。

例1：求∫x^**(lnx)^2dx.

解1：記t=lnx, 則x=e^t, dx=de^t=e^tdt；【先應用最通俗的辦法，需要運用兩次分部積分公式】

原積分=∫t^2*e^(4t)dx

=1/4*∫t^2*de^(4t)=1/4*t^2e^(4t)-1/8*∫e^(4t)dt^2=1/4*t^2*e^(4t)-1/8*∫te^(4t)dt【運用了一次分部積分公式】

=1/4*t^2*e^(4t)-1/8*∫tde^(4t)=1/4*t^2*e^*(4t)-1/8*te^(4t)+1/8*∫e^(4t)dt【又運用了一次分部積分公式】

=1/4*t^2*e^(4t)-1/8*te^(4t)+1/*2*e^(4t)+C【需要出格留意系數的變革，出格是符號上十分容易搞錯】

=1/4*x^4(lnx)^2-1/8*x^4*lnx+x^4/*2+C. 【最初還要恢復成關(guān)于x的形式】

解2：記t=lnx, 則x=e^t, dx=de^t=e^tdt；【第二種解法仍基于換元法】

原積分=∫t^2*e^(4t)dx=∑(i=0-2)(-1)^i?2!/((2-i)!?4^(i+1))t^(2-i)e^(4t)+C.【那是公式(1)的運用】

=1/4*t^2e^*(4t)-1/8*te^(4t)+1/*2*e^(4t)+C【能夠選擇不展開(kāi)公式，間接在公式中把x換回來(lái)】

=1/4*x^4(lnx)^2-1/8*x^4*lnx+x^4/*2+C. 【那里對峙寫(xiě)出最初的形式，是為了息爭法1做比力】

解*：原積分=∑(i=0-2)(-1)^i?2!/((2-i)!?4^(i+1))*x^4*(lnx)^(2-i)+C

=1/4*x^4(lnx)^2-1/8*x^4*lnx+x^4/*2+C.【瞧，間接運用公式(2)多簡(jiǎn)便】

若是你覺(jué)得那道例題還看不出公式功用的強大，就看第二道例題，不消公式你能夠解解看。

例2：求∫(lnx)^777/√(x^*)dx. 【一般辦法解到天荒地老都解不出來(lái)】

解：a=-*/2, n=777.【當標題問(wèn)題復雜時(shí)，先明白兩個(gè)參數】

原積分=∑(i=0-777)(-1)^i?777! )/((777-i)!?(-1/2)^(i+1))?x^(-1/2)?(lnx)^(777-i)+C

=-∑(i=0-777)(2^(i+1)?777!?(lnx)^(777-i))/((777-i)!?√x))+C.

最初看一道操練，謎底間接給圖片：

操練：求∫x^5(ln(2x))^2dx.

解法一其實(shí)其實(shí)不好，但老黃探究過(guò)程頂用到的，仍是分享一下。成果是能夠化簡(jiǎn)的，但用解法二間接就化簡(jiǎn)了，并且還能推出一個(gè)更好用的公式，算是公式(2)的進(jìn)化版。

數學(xué)探究實(shí)是一件十分有趣的工作。像老黃那么笨笨的人，入了門(mén)，都能玩出許多花來(lái)。你那么伶俐，不進(jìn)來(lái)玩數學(xué)，實(shí)是暴殮天物??！