求不定積分的又一件利器，分部積分法的分析與應用

分部積分法是除了換元積分法之外的另一種重要的求不定積分的辦法。它是基于下面的定理的：

定理：(分部積分法)若u(x)與v(x)可導，∫u’(x)v(x)dx存在，

則∫u(x)v’(x)dx也存在，并有∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫u’(x)v(x)dx.

可簡(jiǎn)寫(xiě)為：∫udv=uv-∫vdu. (分部積分公式)

之所以有最初的簡(jiǎn)寫(xiě)形式，是因為v'dx=dv, u'dx=du. 那其實(shí)是一個(gè)湊微分的過(guò)程，所以運用分部積分法時(shí)，常常能夠看到有一個(gè)湊微分的步調。有人可能會(huì )說(shuō)，那不就是換一個(gè)函數求導嗎？有什么用呢？別急，老黃先給各人證明那個(gè)定理，一會(huì )兒用例題來(lái)申明它的用途。

證：由(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)，得【運用了積的求導法例】

∫(u(x)v(x))’dx=∫[u’(x)v(x)+u(x)v’(x)]dx

=∫u’(x)v(x)dx+∫u(x)v’(x)dx，【運用了和的積分等于積分的和的公式】

即有∫u(x)v’(x)dx=∫(u(x)v(x))’dx-∫u’(x)v(x)dx

=u(x)v(x)-∫u’(x)v(x)dx.【那里操縱了求導和求不定積分的互逆性。不曉得你有沒(méi)有想過(guò)，那里好象丟了一個(gè)C。導數的不定積分應該有個(gè)常數C的。其實(shí)沒(méi)丟，沒(méi)關(guān)系張，放松點(diǎn)，那個(gè)C還在后面的不定積分里。把后面的不定積分求出來(lái)，C天然就會(huì )出來(lái)了】

接下來(lái)我們來(lái)看運用。

例1：∫xcosxdx.

想一想，若是不消分部積分法，你能用其它辦法求那個(gè)不定積分嗎？有可能能夠，但是會(huì )很費事。用分部積分法就會(huì )很容易。察看不難發(fā)現，那個(gè)不定積分和正弦的不定積分會(huì )有必然的聯(lián)絡(luò )，因而我們能夠先把cosxdx湊微分紅dsinx的形式，從而得到∫xdsinx。留意右邊那個(gè)形式，若是把它看做分部積分公式的右邊的形式，你會(huì )怎么確定u和v呢？

解：∵∫sinxdx=-cosx+C，

∴∫xcosxdx=∫xdsinx=∫udv=uv-∫vdu

=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.

例2：求∫arctanxdx.

不消分部積分法，你能求嗎？很難，那么若是間接對它運用分部積分法，會(huì )怎么樣呢？按照分部積分公式，能夠有u=arctanx, v=x，而du=darctanx是能夠求微分的，間接運用公式，就能夠處理那個(gè)問(wèn)題了。

解：∵∫xd(arctanx)=∫x/(x^2+1)dx

=1/2* ∫1/(x^2+1)* d(x^2+1)=1/2*ln(x^2+1)+C，【那里連系了第一換元積分法】

∴∫arctanxdx=xarctanx-∫xd(arctanx)

=xarctanx- 1/2*ln(x^2+1)+C.

如今你能本身處理下面的操練題嗎？

操練：求∫arcsinxdx

解：∵∫xd(arcsinx)=∫x/√(1-x^2 )dx=-√(1-x^2 ) ，

∴∫arcsinxdx=xarcsinx-∫xd(arcsinx)

=xarcsinx-√(1-x^2 )+C.

怎么樣？你有沒(méi)有覺(jué)得本身愛(ài)上那種求積分的辦法了。分部積分法，必然要多加操練哦，和換元積分法連系起來(lái)，就能夠處理大大都不定積分了。