解不定積分的利器——第一換元積分法

換元積分法是求不定積分最常用的辦法之一，包羅兩類(lèi)換元積分法，那里老黃先介紹“第一換元積分法”。它其實(shí)是一個(gè)定理：

定理：(換元積分法)設g(u)在[α,β]上有定義，u=φ(x)在[a,b]上可導，且α≤φ(x)≤β，x∈[a,b]，并記f(x)=g(φ(x))φ’(x), x∈[a,b].

(第一換元積分法)若g(u)在[α,β]上存在原函數G(u)，則f(x)在[a,b]上也存在原函數F(x)，且F(x)=G(φ(x))+C,即

∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.

證：∵dG(φ(x))/dx=G’(φ(x))φ’(x)=g(φ(x))φ’(x)=f(x)，【那里面運用了復合函數求導的法例】

∴∫f(x)dx=∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G(φ(x))+C.

(可簡(jiǎn)寫(xiě)為：∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))dφ(x)=G(φ(x))+C). 【高手一般不會(huì )把換元的步調暗示出來(lái)，正所謂“口中有佛，未必心中有佛；心中有佛，沒(méi)必要口中有佛”】

單學(xué)定理，一時(shí)半刻恐怕很難消化，仍是用例題來(lái)說(shuō)話(huà)吧！

例1：求∫tanxdx.

證：原積分=∫(sinx/cosx)dx 【此中sinxdx=-dcosx】

=-∫dcosx/cosx.【那一步叫“湊微分”，通過(guò)湊微分，使不定積分中只包羅中間變量cosx的形式】

令u=cosx, 則原積分=-∫du/u=-ln|u|+C=-ln|cosx|+C.

例2：求∫dx/(a^2+x^2 ) (a0).

解：原積分=∫(1/a^2*dx)/(1+x^2/a^2 )= 1/a*∫d(x/a)/(1+(x/a)^2 ),

令u=x/a, 則原積分=1/a* ∫du/(1+u^2 )=1/a*arctanu+C=1/a*arctan(x/a)=C.

操練：求∫dx/√(a^2-x^2 ) (a0).

解：原積分=∫d(x/a)/√(1-(x/a)^2 ),

令u=x/a, 則原積分=∫du/√(1-u^2 ) =arcsinu+C=arcsin(x/a)+C.

上面三個(gè)不定積分其實(shí)都是常用的積分公式，都是要記牢的。不外老黃的記性很差，老是記不住，所以每回要用到，老黃都需要本身脫手推一推。那么一來(lái)二回的，就把第一換元法給練得倒背如流了。所以有時(shí)候人太伶俐并非什么功德，不如笨一點(diǎn)，才氣獲得更多探究進(jìn)修過(guò)程中的樂(lè )趣，你說(shuō)呢？

最初再給各人總結一下第一換元法的一般步調：

(1)操縱u'dx=du，湊微分，使不定積分中只包羅中間變量u.

(2)換元，用中間變量形式取代它的函數形式；

(*)運用根本積分公式求中間變量的不定積分；

(4)代入中間變量的函數形式。

趕緊再去找幾道題練練手吧！